湘教版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件 第1章 导数及其应用 1.3.1 函数的单调性与导数.ppt

第1章1.3.1函数的单调性与导数

课程标准1.通过实例研究函数导数的符号与函数单调性之间的关系.2.能够利用导数研究函数的单调性.

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基础落实·必备知识一遍过

知识点函数的单调性与其导数的关系(1)若在区间(a,b)内,,则函数f(x)在此区间内单调递增,(a,b)为f(x)的单调递增区间;?(2)若在区间(a,b)内,,则函数f(x)在此区间内单调递减,(a,b)为f(x)的单调递减区间.?函数的定义域或定义域的非空子集f(x)0f(x)0

名师点睛1.可导函数f(x)在(a,b)上单调递增(减)的充要条件:?x∈(a,b),都有f(x)≥0(f(x)≤0),且f(x)在(a,b)的任何子区间内都不恒为零.2.函数的导数值的大小与函数图象的关系:函数值增加得越来越快函数值增加得越来越慢f(x)0且越来越大f(x)0且越来越小

函数值减少得越来越快函数值减少得越来越慢f(x)0且越来越小,绝对值越来越大f(x)0且越来越大,绝对值越来越小

自主诊断1.如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)=0,那么函数f(x)有什么特性?提示f(x)在该区间内是常数函数,此时函数不具有单调性.2.在区间(a,b)内,若f(x)0,则f(x)在此区间内单调递增,反之也成立吗?提示不一定成立.比如y=x3在R上为增函数,但其在x=0处的导数等于零.也就是说f(x)0是y=f(x)在某个区间上单调递增的充分不必要条件.

3.[北师大版教材习题]讨论下列函数的单调性:(1)y=2x2-5x+4;(2)y=3x-x3.(2)y=3-3x2=3(1-x2)=3(1+x)(1-x).由y0得-1x1;由y0得x1或x-1.因此,函数y=3x-x3在区间(-∞,-1)和(1,+∞)内单调递减,在区间(-1,1)内单调递增.

重难探究·能力素养速提升

探究点一函数与导函数图象间的关系【例1】设f(x)在定义域内可导,其图象如图所示,则导函数f(x)的图象可能是()B

解析由f(x)的图象可知函数f(x)在(-∞,0)内单调递减,因此其导数小于0,可排除C,D;再由函数f(x)在y轴右侧的图象先下降再上升,最后下降知函数f(x)的导数先小于0,再大于0,最后小于0,可排除A.故B正确.规律方法函数与导函数图象间的关系的判断方法导函数f(x)图象在x轴上方时对应的自变量的取值区间为原函数f(x)图象上升部分对应的区间(单调递增区间),导函数f(x)图象在x轴下方时对应的自变量的取值区间为原函数f(x)图象下降部分对应的区间(单调递减区间).

变式训练1函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是()D解析原函数先减再增,再减再增,且单调递增区间与单调递减区间的分界点情形只有选项D符合,故选D.

探究点二利用导函数求函数的单调区间角度1.解析式不含参数的函数的单调区间【例2】求下列函数的单调区间.(1)f(x)=3x2-2lnx;

解函数f(x)的定义域为(-∞,2)∪(2,+∞).∵x∈(-∞,2)∪(2,+∞),∴ex0,(x-2)20.由f(x)0,解得x3,∴函数f(x)的单调递增区间为(3,+∞);由f(x)0,解得x3,又定义域为(-∞,2)∪(2,+∞),∴函数f(x)的单调递减区间为(-∞,2)和(2,3).

规律方法利用导函数求函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域.(2)求导函数f(x).(3)由f(x)0(或f(x)0),解出相应的x的取值范围.当f(x)0时,f(x)在相应的区间上单调递增;当f(x)0时,f(x)在相应的区间上单调递减.(4)结合定义域写出单调区间.【提醒】利用函数的导函数研究函数单调性的注意点:(1)确定函数的单调区间一定要先求函数的定义域;(2)若一个函数的单调递增(减)区间有多个,则各个单调递增(减)区间之间不能用“∪”与“或”,只能用“,”与“和”隔开.

变式训练2求下列函数的单调区间.(2)f(x)=ex-x.解(1)函数定义域为R,f(x)=4-x2.令f(x)0,即4-x20,解得-2x2;令f(x)0,即4-x20,解得x-2或x2.故函数的单调递增区间是(-2,2),单调递减区间是(-∞,-2)和(2,+∞).(2)函数定义域为R,f(x)=ex-1.令f(x)0,即ex-10,解得x0;令f(x)0,即ex-10,解得x0.故函数的单调递增区间是(0,+∞),单调递减区间是(-∞,0).

角度2.解析式中含参数的函数的单调区间【例3】已知函数f(x)=x2-(a+2)x+alnx.求当a0时