湘教版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件 第1章 导数及其应用 1.3.2 函数的极值与导数.ppt

;;基础落实·必备知识一遍过;;;2.函数的极值与极值点:函数的极大值和极小值统称为,极大值点和极小值点统称为.?;名师点睛

1.极值是一个局部概念.由定义知,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大的或最小的,并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小.

2.函数的极值不是唯一的,即一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个.

3.极大值与极小值之间无确定的大小关系.在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值,即极大值不一定比极小值大,极小值也不一定比极大值小.;自主诊断

1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)

(1)函数的极值点是一个实数.()

(2)函数y=f(x)一定存在极大值与极小值.()

(3)函数f(x)=有极值.();2.函数f(x)的定义域为R,它的导函数y=f(x)的部分图象如图所示,则下列结论错误的是()

A.在区间(1,2)上函数f(x)单调递增

B.在区间(3,4)上函数f(x)单调递减

C.在区间(1,3)上函数f(x)有极大值

D.x=3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点;;名师点睛

导数等于0的解不一定是极值点,但极值点一定是导数等于0的解.;自主诊断

1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)

(1)驻点称为极值点的条件是函数值在驻点两侧变号.()

(2)二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),当x∈R时,此函数一定有一个极值点.()

(3)过可导函数的极值点的切线与x轴平行.();2.[人教B版教材例题]已知f(x)=x3,求所有使得f(x)=0的x,并判断所求得的数是否为函数的极值点.;;探究点一求函数的极值;解∵函数的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),f(x)=,令f(x)=0,得

x1=-1,x2=2.

∴当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:;规律方法求可导函数f(x)的极值的步骤

(1)求函数定义域;(2)求f(x);(3)解f(x)=0;(4)列表(f(x),f(x)随x的变化情况);(5)下结论.;变式训练1求下列函数的极值:

(1)f(x)=2x3+3x2-12x+1;;(2)f(x)=x2-2lnx.;探究点二利用函数的极值求参数;规律方法已知可导函数的极值求参数问题的解题步骤:

(1)求函数的导数f(x);

(2)由极值点的导数值为0和极值,列出方程(组),利用待定系数法求解参数.

【提醒】因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.;变式训练2已知函数f(x)=alnx+bx2+a2在x=1处有极小值5,求a-b的值.;由f(x)0,得0x1;由f(x)0,得x1.

∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,故f(x)在x=1处有极大值5,不符合题意.;角度2.根据极值点个数求参数取值范围

【例3】已知函数(x∈R,m为常数),在区间(1,+∞)内有两个极值点,求实数m的取值范围.;规律方法已知极值点的个数求解析式中参数取值范围的方法

该问题的本质是函数的导数存在变号零点,解决此类问题可转化为y=f(x)在定义域或所给区间内的零点的个数问题.;变式训练3(1)若函数存在极值点,则实数a的取值范围是

()

A.(-∞,-2]∪[2,+∞)

B.(-∞,-2)∪(2,+∞)

C.[-2,2]

D.(-2,2);探究点三利用函数的图象研究函数极值;解析由图象可知当x-3时,y=xf(x)0,此时f(x)0.当-3x0时,y=xf(x)0,此时f(x)0,因此函数的极小值为f(-3).当0x3时,y=xf(x)0,此时f(x)0,当x3时,y=xf(x)0,此时f(x)0,因此函数的极大值为f(3).故选D.;变式训练4已知函数y=f(x)的导函数的图象如图所示,下列结论正确的是

()

A.-1是函数f(x)的极小值点

B.-4是函数f(x)的极小值点

C.函数f(x)在区间(-∞,-4)上单调递增

D.函数f(x)在区间(-4,-1)上先增后减;解析由图象可知当-4x-1时,f(x)0,当x-1时,f(x)0,故x=-1不是f(x)的极值点,故A错误;由图象可知当x-4时,f(x)0,x-4时,f(x)≥0,故x=-4是函数f(x)的极小值点,故B正确;由图象可知当x∈(-∞,-4)时,f(x)0,故函数f(x)在区间(-∞,-4)上单调递减,故C错误;由图象可知,当x∈(-4,-1)时,f(x)0,函