13.4课题学习 最短路径问题 课件(共31张PPT) 初中数学人教版八年级上册 (1).pptx

13.4课题学习最短路径问题第十三章——轴对称

能够利用轴对称、平移变换解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．能运用“两点之间线段最短”和“垂线段最短”探索最短路径问题；0102学习目标

知识回顾1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？AB①②③2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？②最短，因为两点之间，线段最短PlABCDPC最短，因为垂线段最短

引入新知【探究1】相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦.有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地.到河边哪个地方饮马可使他所走的路线全程最短？l

你可以将这个实际问题抽象为数学问题吗？lCABl当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小.

【思考】如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，点C是直线l上的一个动点，当点C在什么位置时到点A，点B的距离的和最短，即AC+BC的值最小？AlBC连接A，B两点，交直线l于点C，则点C即为所求的位置，可以使得AC+BC的值最小.两点之间，线段最短

你能利用两点分别在直线两侧的解题思路，来解决两点在直线同一侧的问题吗？如果我们能够把点B转移到直线l的另外一侧B′，同时使得对直线上任意一点C，满足BC=B′C，就可以将问题转化为“两点分别在直线两侧的情况”.那么在直线l上使得满足BC=B′C的点应该怎么找呢？ABl

ABl作法：作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．B′C你能证明这个结论吗？你能利用两点分别在直线两侧的解题思路，来解决两点在直线同一侧的问题吗？

证明：在直线l上任意取一点C′（不与点C重合），连接AC′，BC′，B′C′.由轴对称的性质可得：BC=B′C，BC′=B′C′，则AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′.在△AB′C′中，AB′AC′+B′C′，所以AC+BCAC′+B′C′.由点C′的任意性可知，AC+BC的值是最小的，故点C的位置符合要求.lAB?B′CC′

1、直线异侧的两点到直线上一点距离和最短的问题.如图，连接A，B两点，交直线l于点C，则点C即为所求的位置，可以使得AC+BC的值最小.（两点之间，线段最短）.2、直线同侧的两点到直线上一点距离和最短的问题.?ABl?CB′?Bl?AC先作点B关于直线l的对称点的B′，连接AB′交直线l于点C（也可以作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点C），此时点C就是所求作的点.

【探究2】如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)？

如图所示：将河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M.当点N在什么位置的时候，AM+MN+NB的值最小？ABabMN

ABabMN【分析】由于河宽是固定的，则MN的大小是固定的.当AM+MN+BN的值最小时，也即AM+BN的值最小.A′将AM沿着与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′=MN，AM+NB=A′N+NB.此时问题转化为，当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB的值最小.

如图，连接A′，B两点的线中，线段A′B最短.因此，线段A′B与直线b的交点位置即为所求的位置，即在点N处造桥MN，所得路径AMNB是最短的.你能证明这个结论吗？ABabMNA′

ABMNabA′M′N′证明：在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B.∵在△A′N′B中，A′BA′N′+BN′，∴A′N+NBA′N′+BN′.即A′N+NB+MNA′N′+BN′+M′N′.∴AM+NB+MNAM′+BN′+M′N′.即AM+NB+MN的值最小.

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小结??ABlCB′??BlACABabMNA′1.直线异侧的两点、直线同侧的两点到直线上一点距离和最短的问题2.造桥选址问题

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