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三角形面积公式的应用与探究--第1页
三角形面积公式的应用与探究
广东省中山市东升高中高建彪
设△ABC的三边为a，b，c，由解直角三角形易得三边上的高h，h，h，根据面积公式，
abc
可以推导出另一面积公式.由此公式，可以直接计算已知两边
及夹角的三角形面积，并解决一些与面积相关的问题.
一、应用面积公式，推导正弦定理
例1设△ABC的三边为a，b，c，求证：.
证明：由三角形面积公式，得到，
即.
上式同时除以abc，得到.
所以，.
点评：三角形面积公式由直角三角形的边角关系表示出各边上的高之后再推导出来，再运用它推导
正弦定理，实质就是教材中正弦定理推导过程的简化.
二、活用代数变形，推导海伦公式
例2△ABC的三边为a，b，c，设，求证：.
证明：==
三角形面积公式的应用与探究--第1页
三角形面积公式的应用与探究--第2页
=
=
=
=
=
=.
点评：此例的结论，就是海伦公式，可以由三角形的三边a、b、c直接求出三角形的面积.海伦公
式据说是由古希腊数学家阿基米德解决的，但最早出现于古希腊数学家海伦（Heron）的著作《测地术》中，
公式的形式漂亮，且便于记忆.我国大数学家秦九韶在也发现与海伦公式本质上相同的“三斜求积”公式
，并记载于他写的《数书九章》中.如果由三角形面积
和，得，，根据，整
理后也可得到海伦公式.
三、结合面积公式，研究三角问题
例3在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c.
（1）若a=4，b=5，S=5，求c的长度；
（2）若三角形的面积S=，求∠C的度数；
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三角形面积公式的应用与探究--第3页
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（3）若a、b、c成等比数列，且a－c=ac－bc，求∠A的大小及的值.
解：（1）∵S＝absinC，∴sinC＝，于是∠C＝60°或∠C＝120°.
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又∵c＝a＋b－2abcosC，
222
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