专题1.2 等边三角形【十大题型】（举一反三）（北师大版）（解析版）.pdfVIP

专题1.2等边三角形【十大题型】

【北师大版】

【题型1与等边三角形有关的角度的计算】1

【题型2共顶点的等边三角形（手拉手图形）】5

【题型3平面直角坐标系中的等边三角形】11

【题型4与等边三角形有关的线段长度的计算】17

【题型5等边三角形的证明】22

【题型6与等边三角形有关的规律问题】26

【题型7利用等边三角形的性质进行证明】31

【题型8与等边三角形有关的动点问题】36

【题型9含30°角的直角三角形性质】41

【题型10直角三角形斜边的中线】45

【知识点1等边三角形】

（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.

（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.

（3）等边三角形的判定：

①三条边都相等的三角形是等边三角形；

②三个角都相等的三角形是等边三角形；

③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.

【题型1与等边三角形有关的角度的计算】

【例1】（2022秋•泰兴市期末）（1）如图1，∠AOB和∠COD都是直角

①若∠BOC＝60°，则∠BOD＝30°，∠AOC＝30°；

②改变∠BOC的大小，则∠BOD与∠AOC相等吗？为什么？

（2）如图2，∠AOB＝∠COD＝80°，若∠AOD＝∠BOC+40°，求∠AOC的度数；

（3）如图3，将三个相同的等边三角形（三个内角都是60°）的一个顶点重合放置，若∠BAE＝10°，

∠HAF＝30°，则∠1＝20°．

【分析】（1）根据余角的性质即可得到结论；

（2）根据角的和差即可得到结果；

（3）根据等边三角形的性质得到∠DAH＝∠EAF＝∠BAC＝60°，根据角的和差即可得到结论．

【解答】解：（1）∵∠AOB和∠COD都是直角，∠BOC＝60°，

∴∠BOD＝30°，∠AOC＝30°，

故答案为：30，30；

（2）∵∠AOB＝∠COD＝80°，

1

∴∠AOC＝∠BOD=（∠AOD﹣∠BOC），

2

∵∠AOD＝∠BOC+40°，

∴∠AOC＝20°；

（3）∵∠DAH＝∠EAF＝∠BAC＝60°，

∴∠DAE＝∠HAF＝30°，

∴∠1＝60°﹣30°﹣10°＝20°．

故答案为：20．

【变式1-1】（2022秋•巫溪县校级月考）已知：如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上的点，

BE、CE分别平分∠ABC和∠ACD，求∠BEC的度数．

【分析】△ABC是等边三角形的外角是120°，平分后是60°，又由角平分线与角的对边垂直可知所求

角是直角三角形内的一个锐角，故而可解得．

【解答】解：∵△ABC是等边三角形，且有BE、CE分别平分∠ABC和∠ACD，AC⊥BE，

∴∠ECD＝（180°﹣60°）÷2＝120°÷2＝60°，

∴∠ACE＝60°，

又∵AC⊥BE，

∴∠BEC＝180°﹣90°﹣60°＝30°．

【变式1-2】（2022秋•太原期末）问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，

BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系．

（1）特例探究：

如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D＝30°；

如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A＝100°，其余条件不变，则∠D＝50°；这两个图中，

∠D与∠A度数的比是1：2；

（2）猜想证明：

如图1，△ABC为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是否还成立？若成立，利用图1证明

你的结论；若不成立，说明理由．

【分析】（1）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和用∠A和∠D表示出∠ACE，再根

据角平分线的定义得到∠ACE