湖南省长郡中学2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题.docx

长郡中学2025届高三第一次调研考试

数学

本试题卷共4页.时量120分钟，满分150分.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名?准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，则（）

A.B.C.D.

2.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则的一个充分条件是（）

A.B.

C.D.

3.的展开式中的常数项是（）

A.第673项B.第674项

C.第675项D.第676项

4.铜鼓是流行于中国古代南方一些少数民族地区的礼乐器物，已有数千年历史，是作为祭祀器具和打击乐器使用的.如图，用青铜打造的实心铜鼓可看作由两个具有公共底面的相同圆台构成，上下底面的半径均为25cm，公共底面的半径为15cm，铜鼓总高度为30cm.已知青铜的密度约为，现有青铜材料1000kg，则最多可以打造这样的实心铜鼓的个数为（）（注：）

A.1B.2C.3D.4

5.已知定义在上的函数满足（为的导函数），且，则（）

A.B.

C.D.

6.已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于两点，是的中点，点是上一点，若点的纵坐标为1，直线，则到的准线的距离与到的距离之和的最小值为（）

A.B.C.D.

7.已知函数，对于任意的，都恒成立，且函数在上单调递增，则的值为（）

A.3B.9C.3或9D.

8.如图，已知长方体中，为正方形的中心点，将长方体绕直线进行旋转.若平面满足直线与所成的角为，直线，则旋转的过程中，直线与夹角的正弦值的最小值为（）（参考数据：）

A.B.C.D.

二?多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.某机械制造装备设计研究所为推进对机床设备的优化，成立两个小组在原产品的基础上进行不同方向的研发，组偏向于智能自动化方向，组偏向于节能增效方向，一年后用简单随机抽样的方法各抽取6台进行性能指标测试（满分：100分），测得组性能得分为：组性能得分为：，则（）

A.组性能得分的平均数比组性能得分的平均数高

B.组性能得分的中位数比组性能得分的中位数小

C.组性能得分的极差比组性能得分的极差大

D.组性能得分的第75百分位数比组性能得分的平均数大

10.嫁接，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽，嫁接到另一株植物的茎或根上，使接在一起的两个部分长成一个完整的植株.已知某段圆柱形的树枝通过利用刀具进行斜辟，形成两个椭圆形截面，如图所示，其中分别为两个截面椭圆的长轴，且都位于圆柱的同一个轴截面上，是圆柱截面圆的一条直径，设上?下两个截面椭圆的离心率分别为，则能够保证的的值可以是（）

A.B.

C.D.

11.对于任意实数，定义运算“”，则满足条件的实数的值可能为（）

A.

B.

C.

D.

三?填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在复平面内，复数对应的点为，则__________.

13.写出一个同时满足下列条件①②③的数列的通项公式__________.

①是常数，且；②；③的前项和存在最小值.

14.清代数学家明安图所著《割圆密率捷法》中比西方更早提到了“卡特兰数”（以比利时数学家欧仁?查理?卡特兰的名字命名）.有如下问题：在的格子中，从左下角出发走到右上角，每一步只能往上或往右走一格，且走的过程中只能在左下角与右上角的连线的右下方（不能穿过，但可以到达该连线），则共有多少种不同的走法？此问题的结果即卡特兰数.如图，现有的格子，每一步只能往上或往右走一格，则从左下角走到右上角共有__________种不同的走法；若要求从左下角走到右上角的过程中只能在直线的右下方，但可以到达直线，则有__________种不同的走法.

四?解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.

15.（本小题满分13分）

已知为圆上一个动点，垂直轴，垂足为为坐标原点，的重心为.

（1）求点的轨迹方程；

（2）记第（1）问中的轨迹为曲线，直线与曲线相交于两点，点，若点恰好是的垂心，求直线的方程.

16.（本小题满分15分）

如图，四边