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2024年浙江省宁波市鄞州中学强基招生数学试卷

一、填空题

1．（3分）若xy≠﹣1，且，则＝．

2．（3分）＝．

3．（3分）已知正实数a，b，c满足a+b+c＝6，则的最小值为．

4．（3分）已知函数y＝|x2+2x﹣a+3|，当﹣2≤x≤1时，y有最大值5．

5．（3分）已知△ABC中，BC上的一点D，2BD＝CD，则∠ABD的最大值为．

6．（3分）若点T为线段BC中点，AT⊥DT，且AT＝2，AB∥CD，，则＝．

7．（3分）如图，在△ABC中，G，E分别在AB，连结BE交AF于O，若＝，＝，G，O，C共线，则△OBC的面积为．

8．（3分）已知整数x，y，z满足xy+yz+zx＝118，则x2+y2+z2的最小值为．

9．（3分）已知x，y，z是大于1的正整数，且为整数．

10．（3分）已知EA、EC为圆O的两条切线，连结DE交圆于点B，若BC＝6，∠ABD＝30°，则BD＝．

二、解答题

11．已知P（3，4），矩形OAPB的A，B顶点分别在x轴，反比例函数y＝（x＞0，k＞0）与矩形的BP，C，△COD的面积为4.5．

（1）判断并证明直线CD与AB的关系．

（2）求k的值．

（3）若E，F分别为直线AB和反比例函数上的动点，M为EF中点

12．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，O是外心，延长AD交BC于E

（1）求证：2OH＝AD．

（2）证明：B，O，D，C四点共圆．

（3）若BE＝2CE＝2，求DE．

2024年浙江省宁波市鄞州中学强基招生数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题

1．（3分）若xy≠﹣1，且，则＝．

【解答】解：∵，

∴，

∴，

∵xy≠﹣1，

∴x，是方程4m2+6m+3＝0的两个根，

∴，

∴．

故答案为．

2．（3分）＝．

【解答】解：原式＝

＝

＝

＝

＝

＝．

故答案为：．

3．（3分）已知正实数a，b，c满足a+b+c＝6，则的最小值为18．

【解答】解：构造图示的三个直角三角形，

即Rt△ABC，Rt△CDE，

满足AB＝a，CD＝b，BC＝3，FG＝5，

则由勾股定理可知AC＝，即AC＝，EG＝，

所以++＝AC+CE+EG可知当A，C，E，AC+CE+EG最小，

即为AG长，当当A，C，E，OG＝3+5．

在Rt△AOG中AG＝＝＝18．

故答案为18．

4．（3分）已知函数y＝|x2+2x﹣a+3|，当﹣2≤x≤1时，y有最大值51或7．

【解答】解：由题意，y＝x2+2x﹣a+4的对称轴是直线x＝﹣＝﹣5，

∴当x＝﹣1时，y＝|2﹣a|．

又当x＝﹣6时，y＝|3﹣a|，y＝|6﹣a|，

∴①当最大值为|2﹣a|＝5，

∴a＝7或a＝﹣5（不合题意）；

②当最大值为|3﹣a|＝5，

∴a＝2或a＝﹣2，均不合题意；

③当最大值为|6﹣a|＝2，

∴a＝11（不合题意）或a＝1．

综上，a＝1或6．

故答案为：1或7．

5．（3分）已知△ABC中，BC上的一点D，2BD＝CD，则∠ABD的最大值为90°．

【解答】解：如图，以CD为边作等边三角形CDO，过点O作OE⊥CD于E，

∵2BD＝CD，

∴设BD＝x，则CD＝2x＝OD＝OC，

∵∠DAC＝30°，∠DOC＝60°，

∴点A在以O为半径，OC为半径的圆上运动，

∴当AB与圆O相切时，∠ABD有最大值，

此时：∠DAB＝90°＝∠BEO，

∵△ODC是等边三角形，OE⊥BC，

∴DE＝CE＝x，

∴BE＝5x，

∴OA＝BE＝2x，

又∵OB＝BO，

∴Rt△ABO≌Rt△EOB（HL），

∴AB＝OE，

∴四边形AOEB是平行四边形，

又∵∠DAB＝90°，

∴四边形AOEB是矩形，

∴∠ABD＝90°，

故答案为：90°．

6．（3分）若点T为线段BC中点，AT⊥DT，且AT＝2，AB∥CD，，则＝3．

【解答】解：如图，过T作TM⊥AB．

∵AB∥CD，

∴∠B＝∠C，

∵T为线段BC中点，

∴TB＝TC＝BC＝，

在△EBT和△DCT中，

，

∴△EBT≌△DCT（ASA），

∴TE＝TD＝1，

∴AE＝＝，

∵△ATE面积＝AE?TM＝，

∴TM＝，

∴AM＝＝，

EM＝＝，

∴BM＝＝，

∴BE＝BM﹣EM＝＝CD，

AB＝AM+BM＝，

∴＝÷＝3．

故答案为：4．

7．（3分）如图，在△ABC中，G，E分别在AB，连结BE交AF于O，若＝，＝，G，O，C共线，则△OBC的面积为30．

【解答】解：