专题1.1 探究全等三角形的常见模型（解析版）.pdfVIP

专题1.1探究全等三角形的常见模型

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倍长中线模型

1、已知△ABC，AB=4，AC=2，BC边上的中线AD长度可能是（）

A．1B．2C．3D．4

B

【答案】

ADBCBD=CDADEAD=DE

【解析】如图所示，为边上的中线，，延长至，使得，

连接CE，则∠ADB=∠CDE，∴VABD≌VECDSAS，

AB=CE=2ACE

∴，则在△中，AC-CEAEAC+CE，即：2AE6，

BB

∴1AD3，选项符合要求，故选：．

2、在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线．

11AB=7,AC=5,

（）如图，AD是DABC的中线，求AD的取值范围．我们可以延

长AD到点M，使DM=AD，连接BM，易证DADC@DMDB，所以

BM=AC．接下来，在DABM中利用三角形的三边关系可求得AM的取值范围，从

而得到中线AD的取值范围是；

22F,

（）如图，AD是VABC的中线，点E在边AC上，BE交AD于点且AE=EF，

求证：AC=BF；

33AD//BC

（）如图，在四边形ABCD中，，点E是AB的中点，连接CE，ED且

CE^DE，试猜想线段BC,CD,AD之间满足的数量关系，并予以证明．

123

【答案】（）1AD6；（）见解析；（）CD=BC+AD，证明见解析

1

【解析】（）延长AD到点M，使DM=AD，连接BM，

∵AD是DABC的中线，∴DC=DB，

在DADC和DMDB中，AD=MD，∠ADC=∠MDB，DC=DB，

∴DADC@DMDB，∴BM=AC，

在DABM中，AB-BM＜AM＜AB+BM，

∴7-5＜AM＜7+5，即2＜AM＜12，∴1＜AD＜6；

2:M,,

（）证明延长AD到点使DM=AD连接BM，

1

由（）知VADC@VMDB，

∴ÐM=ÐCAD，BM=AC，

QAE=EF，\ÐCAD=ÐAFE，

QÐMFB=ÐAFE，\ÐMFB=ÐCAD，

\ÐBMF=ÐBFM，\BM=BF，\AC=BF，

3

（）CD=BC+AD，

延长CE到F，使EF=EC，连接AF，

QAE=BE，ÐAEF=ÐBEC，\DAEF@DBEC，

\ÐEAF=ÐB，AF=BC，

QAD//BC，\ÐBAD+ÐB=180°，\ÐEAF+ÐBAD=180°，

\点F,A,D在一条直线上，

QCE^ED，∴∠DEF=∠DEC=90°，

∴