圆锥曲线中的证明、探究性问题-高中数学总复习课件.pptx

圆锥曲线中的证明、探究性问题

1.证明问题：圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系的证明，如

相切、平行、垂直、共线等；数量关系的证明，如恒成立、值相等

（不等）、角相等（不等）等，在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前

提下，常把几何量用坐标表示，建立某个变量的函数，用代数方法

证明.

2.探究性问题：先假设结论成立，用待定系数法列出含相应参数的方

程，若方程有解，则探究的元素存在（或命题成立），否则不存在

（或不成立）.需要注意的是：（1）当条件和结论不唯一时要分类

讨论；（2）当给出结论需要推导出存在的条件时，先假设成立，

再推出条件；（3）当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明

结论符合题意.

?位置关系的证明（1）求椭圆C的标准方程；?

（2）P为椭圆上不与A1，A2重合的任意一点，直线A1P，A2P分别

与直线x＝4相交于点M，N，求证：FM⊥FN.?

?

解题技法树立“转化”意识，证明位置关系

??

（2）点A，B，D是双曲线C上不同的三点，且B，D两点关于y轴

对称，△ABD的外接圆经过原点O.求证：直线AB与圆x2＋y2

＝1相切.解：证明：由（1）得双曲线C的方程为x2－y2＝2.易知直线AB一定是不平行于x轴的直线且不与渐近线y＝±x

平行，所以可设直线AB的方程为x＝my＋n（m≠±1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1≠y2，D（－x2，y2）.

?

?

?数量关系的证明（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；?

（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB.?

?所以∠OMA＝∠OMB.综上，∠OMA＝∠OMB.

解题技法解决此类问题，一般方法是“设而不求”，通过“设参、用参、

消参”的推理及运算，借助几何直观，达到证明的目的.

?（1）求E和Γ的标准方程；?

?

??

?

?点、线的探究性问题

（1）求E的方程；??

（2）设直线PA与E的另一交点为D，直线PB与E的另一交点为C，

问是否存在点P，使得四边形ABCD为梯形？若存在，求点P的

坐标；若不存在，请说明理由.?

?

法二假设存在点P（3，t）满足题设，则t＞0，设C（x1，y1），D（x2，y2）.????

?????

解题技法点、线的探究性问题的求解方法（1）解决探究性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明

朗化.一般步骤如下：①假设满足条件的曲线（直线或点等）存在，用待定系数法

设出；②列出关于待定系数的方程（组）；③若方程（组）有实数解，则曲线（直线或点等）存在，否则

不存在.（2）反证法与验证法也是求解探究性问题常用的方法.

?（1）求双曲线C的标准方程；?

（2）双曲线C上是否存在被点B（1，1）平分的弦？如果存在，求出

弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由.?

?

【例4】如图，A，B，M，N为抛物线y2＝2x上四个不同的点，

直线AB与直线MN相交于点（1，0），直线AN过点（2，0）.含参数的探究性问题（1）记A，B的纵坐标分别为yA，yB，求yA·yB的值；解：设直线AB的方程为x＝my＋1，代入y2＝2x，得y2－2my－2＝0，Δ＝4m2＋8＞0，所以yA·yB＝－2.

（2）记直线AN，BM的斜率分别为k1，k2，是否存在实数λ，使得k2

＝λk1？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.?

?

解题技法含参数的探究性问题的求解方法求解含参数的探究性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的

参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理

与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的参数值，就说明满足条件

的参数值存在；若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的参

数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程.

?（1）试判断动点G的轨迹是什么曲线，并求其轨迹方程C；?

?解：由题设可知，M，N一个在椭圆外，一个在椭圆内；

P，Q一个在☉F内，一个在☉F外，在直线l上的四点满足：｜NQ｜－｜MP｜＝（｜NQ｜＋｜NP｜）－（｜MP｜＋｜NP｜）＝｜PQ｜－｜MN｜＝｜PQ｜－1，

?

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