自学初中数学资料 圆中之三大定理、弧长及扇形面积.pdfVIP

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主题：LBFZ-四阶-08-圆中之三大定理、弧长及扇形面积

自学五步法

一、垂径定理及其推论

【知识探索】

1．垂径定理推论：

（1）如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧；

（2）如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦；

（3）如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧；

（4）如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；

（5）如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦．

【说明】记忆技巧：如果一条直线具备：

（1）过圆心；

（2）垂直于弦；

（3）平分弦；

（4）平分弦所对的劣弧；

（5）平分弦所对的优弧．

这五个条件中任何两个，那么也一定具备其余三个条件．

【注意】一条直线具备过圆心且平分弦这两个条件时，必须强调被平分的弦为非直径的弦．

2．垂径定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的

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弧．

【说明】

（1）结论中“平分这条弦所对的弧”包括弦所对的劣弧和优弧；

（2）将弧平分的点是这条弧的中点；

（3）条件中“圆的直径垂直于弦”也可表述为“圆的半径垂直于弦”或者“圆心到弦的垂线段”．

【错题精练】

例1．如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，OA=1，将扇形OAB绕点B逆时针旋转，得到扇形BDC，

若点O刚好落在弧AB上的点D处，则线段AC的长等于______．

2⊙O2l⊙OABMN⊙O

例．如图，的半径是，直线与相交于、两点，、是上的

l∠AMB=45°MANB______

两个动点，且在直线的异侧，若，则四边形面积的最大值是．

例3．如图，AB为圆O的直径，弦CD⊥AB于点E。连结AC、OC、BC

求证∠ACO=∠BCD

若EB=2cm，CD=8cm，求圆O的直径

例4．如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB相交于E，DE=EC，过点B的切线与AD的延长线交于F，

过E作EG⊥BC于G，延长GE交AD于H．

（1）求证：AH=HD；

（2）若cos∠C=4，DF=9，求⊙O的半径．

5

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例5．如图，AB为⊙O直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H．

（1）∠OCD的平分线CE交⊙O于E，连接OE．求证：E为弧ADB的中点；

（2）如果⊙O的半径为1，=3，求O到弦AC的距离．

√

例6．已知AB是半圆O的直径，M，N是半圆不与A，B重合的两点，且点N在弧BM上．

（1）如图1，MA=6，MB=8，∠NOB=60°，求NB的长；

（2）如图2，过点M作MC⊥AB于点C，点P是MN的中点，连接MB、NA、PC，试探究∠MCP、

∠NAB、∠MBA之间的数量关系，并证明．

【举一反三】

1OAOB⊙OC⊙O∠AOB=40°∠