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2.7一元二次方程的根与系数的关系韦达定理
复习提问1写出一元二次方程的一般式ax+bx+c=0(a≠0)22一元二次方程求根公式。X=1,2
观察、思考两根和、两根积与系数的关系。x2是ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根若x1,
韦达定理的证明:X+x=+21=-=Xx=●21===
一元二次方程的根与系数的关系:(韦达定理)如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是X,X12那么X+x=,Xx=-1212注:能用韦达定理的前提条件为△≥0
韦达(1540-1603)韦达定理的作用:
一、求两根之和与两根之积:1、x-2x-1=02x+x=2xx=-112122、2x2-3x+=0x+x=xx=12123、2x2-6x=0=4xx=0x+x=312124、3x2xx=-x+x=01212
(二.验根)判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根。123
三、已知方程一根,求另一根。已知方程5x2+kx-6=0的一根是2,求它的另一根及k的值。法1∵2是方程的根∴∴
法2、已知方程x-(k+1)x+3k=0的一个根是2,2求它的另一个根及k的值。解二:设方程的另一个根为x1.x1+2=k+1由韦达定理,得x1●2=3kx1=-3解这方程组,得k=-2答:方程的另一个根是-3,k的值是-2。
四、可以求其它有关式子的值:X1,xx+1)(x2=——(X则X2+1122是方程2x2+4x-5=0的两根2+1)=____∴x2+x122∴(x+1)(x+1)12=(x+x)2-2xx=xx+(x+x)+112121212–2(-2.5)=(-2)=4+5=92=-2.5+(-2)+1=-3.5
5、已知3x2+2x-9=0的两根是x,x2。1求:(1)(2)(x-2)(x-2)(3)x12+x2212(6)x2x+xx2(4)(x-x)2(5)121212
6.关于x的方程X2-(2m+1)x+m=0的两根之和与两根之积相等,则m=_____7.一元二次方程x2+5x+k=0的两实根之差是3,则k=_____
8.当k为何值时,方程2x两根差为1。2-(k+1)x+k+3=0的解:设方程两根分别为x,x(xx),则x-x=1121212∵(x-x)2=(x+x)-4xx2211212由韦达定理得x+x=,xx=1212∴解得k=9,k=-312当k=9或-3时,由于△≥0,∴k的值为9或-3。
10.以,为根的一元二次方程是()ABCD
已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程2x-8x+7=0的两个根,则这个直角三角形的斜边长是2
9.已知x,x是方程x2+px+q=0的两个根,12分别根据下列条件求出p和q的值:(1)x=1,x=2(2)x=3,x=-61212(3)x=-,x=(4)x=-2+,x=-2-1212
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