湘教版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第6章 案例分析.ppt

;;内容索引;基础落实?必备知识全过关;知识点数学建模

1.用函数构建数学模型解决实际问题的步骤

(1)观察实际情景:对实际问题中的变化过程进行分析;

(2)发现和提出问题:析出常量、变量及其相互关系;

(3)收集数据、分析数据:明确其运动变化的基本特征,从而确定它的运动变化类型;

(4)选择函数模型:根据分析结果,选择适当的函数类型构建数学模型,将实际问题化归为数学问题;

(5)求解函数模型:通过运算推理,求解函数模型;

(6)检验模型:利用函数模型的解说明实际问题的变化规律,达到解决问题的目的.;2.数学建模活动的基本过程;名师点睛

数学模型是对于现实世界的一个特定对象,为了一个特定目的,根据其特有的内在规律做出一些必要的简化假设,并运用合适的数学工具得到的一个数学结构.而数学建模过程,则是应用数学方法,通过建立数学模型来解决实际问题的过程.;过关自诊

某大型超市为了满足顾客对商品的购物需求,对超市的商品种类做了一定的调整,结果调整初期利润增长迅速,随着时间的推移,增长速度越来越慢,如果建立恰当的函数模型来反映该超市调整后利润y与售出商品的数量x的关系,则可选用()

A.一次函数

B.二次函数

C.指数型函数

D.对数型函数;答案D

解析由题目信息可知:初期增长迅速,后来增长越来越慢,故可用对数型函数模型来反映y与x的关系.故选D.;重难探究?能力素养全提升;;答案C;变式训练1

某种动物繁殖量y只与时间x年的关系为y=alog3(x+1),设这种动物第2年有100只,到第8年它们将发展到()

A.200只 B.300只

C.400只 D.500只;;规律方法1.实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成,因此需要构建分段函数模型.

2.分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者).

3.二次函数是常用的函数模型,建立二次函数模型可以求出函数的值域或最值.解决实际中的优化问题时,一定要分析自变量的取值范围.利用配方法求最值时,一定要注意对称轴与给定区间的关系:若对称轴在给定的区间内,可在对称轴处取最值,在离对称轴较远的端点处取另一最值;若对称轴不在给定的区间内,最值一般在区间的端点处取得.;变???训练2

某生产厂家生产一种产品的固定成本为4万元,并且每生产1百台产品需增加投入0.8万元.已知销售收入R(x)(单位:万元)满足

R(x)=(其中x是该产品的月产量,单位:百台),假定生产的产品都能卖掉,请完成下列问题:

(1)将利润表示为月产量x的函数y=f(x);

(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少万元?;解(1)由条件知;角度2构建指数函数模型

【例3】某车间产生的废气经过过滤后排放,过滤过程中废气的污染物数量Pmg/L与时间th之间的关系为P=P0e-kt(其中P0表示初始废气中污染物数量,e是自然对数底数).经过5个小时后,经测试,消除了20%的污染物.

问:(1)15小时后还剩百分之几的污染物.

(2)污染物减少36%需要花多长时间.;解(1)由题意得P=P0e-5k=(1-20%)P0,则e-5k=0.8,

故当t=15时,P=P0e-15k=P0(e-5k)3=(80%)3P0=51.2%P0.故15个小时后还剩51.2%的污染物.;变式训练3

某医药研究所研发了一种治疗某疾病的新药,服药后,当每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时,治疗疾病有效.据监测,服药后每毫升血液中的含药量y(单位:毫克)与时间t(单位:时)之间满足如图所示的曲线,则服药一次后治疗疾病的有效时间为()时.;解析由题意,当0≤t≤1时,函数图象是一条线段,

由于过原点与点(1,4),故其解析式为y=4t,0≤t≤1;;角度3构建对数函数模型

【例4】牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型:(t为时间,单位为分钟,θ0为环境温度,θ1为物体初始温度,θ为冷却后温度).假设一杯开水温度θ1=100℃,环境温度θ0=20℃,常数k=0.2,大约经过()分钟水温降为50℃.(参考数据:ln2≈0.7,ln3≈1.1)

A.5 B.6 C.7 D.8;规律方法求解与对数函数模型有关的问题,应注意指数式与对数式的互化以及对数的运算性质.;变式训练4

天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m1-m2=2.5(lgE2-lgE1),其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知“心宿二”的星等是1.00,“天津四”的星等是1.25,“心宿二”的亮度是“天津