湘教版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件 第1章 数列 1.2.2 等差数列与一次函数.ppt

1.2.2等差数列与一次函数第1章

内容索引0102基础落实?必备知识全过关重难探究?能力素养全提升03学以致用?随堂检测全达标

课标要求1.理解等差数列就是一个定义域为正整数集或它的有限子集的函数;2.通过函数的引入增强运用等差数列公式解决问题的能力;3.能够运用一次函数的知识解决等差数列相关问题.

基础落实?必备知识全过关

知识点1等差数列与一次函数对于一般的等差数列{an},其通项公式为an=a1+(n-1)d,将其中的正整数自变量n换成实数自变量x,得到y=a1+(x-1)d=dx+(a1-d).这不是关于n的一次函数的标准形式名师点睛等差数列的图象由通项公式对应的关于n的函数的图象上的孤立点(n,an)组成,其中点的横坐标为项数n,纵坐标为项an.

过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)所有的等差数列的通项公式都可以写成关于n的一次函数形式.()(2)等差数列{an}的项数n,项an构成的坐标为(n,an)的点都在直线y=2x-1上,则数列的公差为d=2.()×√2.若等差数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d,则该通项公式对应的一定是关于n的一次函数吗?提示当d≠0时是关于n的一次函数,此时一次函数的斜率就是公差d.当d=0时不是关于n的一次函数.

3.若等差数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d,函数为y=dx+(a1-d),这个函数的图象与等差数列{an}的图象相同吗?提示不相同,函数y=dx+(a1-d)的图象是一条连续的直线并且x的取值范围可以是R,而等差数列{an}的图象是一些孤立点(n,an),且n只能是正整数.

知识点2等差数列的单调性等差数列{an}的单调性与公差d的关系如下:等差数列{an}的单调性公差d递增数列d0递减数列d0常数列d=0名师点睛当d0时,直线y=dx+(a1-d)从左至右上升,等差数列{an}递增;当d0时,直线y=dx+(a1-d)从左至右下降,等差数列{an}递减;当d=0时,y=a1为水平方向的直线,数列{an}为常数列.

过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若等差数列的图象上的点(n,an)都在直线y=5-2x上,则数列是递减数列.()(2)若数列{an}是等差数列,且a3a1,则数列不一定是递增数列.()√×

2.若数列{an}的图象上的点(n,an)都在直线y=3x-1上,则以下关系成立的是()A.a5≤a6 B.a6a7C.a6a8 D.a5≥a6答案C解析由数列{an}的图象上的点(n,an)都在直线y=3x-1上,可知an=3n-1,因此数列{an}是递增数列,所以a8a6,故选C.

3.若(3,6),(5,-3)是等差数列{an}的图象上的两点,则该数列的公差d满足()A.d0 B.d0C.d=0 D.无法确定符号答案B解析由题意可知a3=6,a5=-3,因此等差数列{an}是递减数列,所以公差d0.

重难探究?能力素养全提升

探究点一利用等差数列与一次函数的关系证明等差数列【例1】已知数列{an}的通项公式为an=an2+bn+c(a,b,c为常数,且a≠0),求证:数列{an}不是等差数列.分析利用等差数列的定义,证明an-an-1(n≥2)是否为常数.证明当a≠0,n≥2时,由an=an2+bn+c,可知an-an-1=an2+bn+c-a(n-1)2-b(n-1)-c=2an+b-a.由a≠0,n≥2知an-an-1是一个与n有关的量,因此an-an-1不是等差数列.

规律方法由数列通项公式证明数列为等差数列的方法

变式训练1已知点(n,an)在直线y=3x+1上,证明数列{an}是等差数列,并求其公差.证明∵点(n,an)在直线y=3x+1上,∴an=3n+1,∴an-1=3(n-1)+1(n≥2).∴an-an-1=3n+1-[3(n-1)+1]=3.∴数列{an}是等差数列,且公差为d=3.

探究点二等差数列与一次函数关系的应用【例2】已知{an}是等差数列,且a3=10,a5=16.(1)求a7;(2)若an=31,求n的值.分析设出等差数列的首项与公差,列方程求出通项公式后,依次求解,也可以利用等差数列的函数性质求解.

因此an=4+3(n-1)=3n+1.故a7=3×7+1=22.(2)由an=3n+1,知当an=31时,3n+1=31,解得n=10.(方法2)(1)由题意知等差数列公差d≠0.因此设{an}的通项公式为an=pn+q(p,q∈R).故a7=3×7+1=22.(2)由an=3n+1,知当an=31时,3n+1=31,解得n=10.

规律方法已知等差数列中的两