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圆周运动曲率半径公式--第1页
圆周运动曲率半径公式
1应用曲率半径的数学公式推导椭圆的曲率半径
yyx
在高等数学中，二维曲线=()的曲率半径公式是
(1)
其中对于图1中标准的正椭圆，其方程为
(2)
图1正椭圆及其准线
其中a、b分别为椭圆的半长轴、半短轴，图中c为半焦距，下同。将式(2)两边对
变量x求导，经整理可得
(3)
将式(3)两边对变量x求导，并将式(3)代入可得
(4)
圆周运动曲率半径公式--第1页
圆周运动曲率半径公式--第2页
将椭圆方程式(2)代入即得
(5)
于是，将式(3)、式(5)代入式(1)即得该正椭圆的曲率半径：
(6)
若将椭圆方程式(2)代入式(6)，消去y后又可得
(7)
ρxeca
这时显示为的一元函数。式(7)中的=/是椭圆的偏心率。
参见图1，由准线知识知，椭圆上任一点距离右焦点的距离
(8)
将式(8)代入式(7)消去x后可得
(9)
ρr
这便是极坐标形式的椭圆曲率半径公式，由极坐标唯一地确定。
arr
此外，参见图1，由于2-=′，所以式(9)又可改写成
(10)
圆周运动曲率半径公式--第2页
圆周运动曲率半径公式--第3页
这即为椭圆曲率半径的最简公式，它兼具对称性，因此最方便记忆。
式(6)、式(7)、式(9)、式(10)是椭圆曲率半径的四个公式，其中式(6)最为常见，式(7)、
式(9)最方便使用，式(10)则最便于记忆。
xarac
若令式(7)中的=±或式(9)中的=±，则求得图1中椭圆左、右顶点的曲率半径
xra
若令式(7)中的=0或式(9)中的=，则求得图1中椭圆上、下顶点的曲率半径
2应用匀速率圆周运动投影的方法求椭圆的曲率半径
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