数论中的若干问题和进展.pptVIP

数论中的假设干问题和进展徐飞

一.概述Peano公理：自然数〔正整数〕和零。减法：整数Z。除法：有理数Q。极限：实数R。(π,√2,?)求解代数方程：复数C。

一.概述数论大致分为两类问题：1〕素数问题。如Riemann猜测，Goldbach猜测等。2〕整系数多项式方程的整数解。如Fermat猜测，BSD猜测等。

二.素数如果正整数m整除正整数n，称m是n的一个因子。如果正整数p的因子只有1和p，那么p称为素数。如2，3，5，7，11，13，17，19等等。

二.素数

二.素数

二.素数

二.素数利用证法二可以证明：定理〔Dirichlet)：等差级数a，a+d，a+2d，…，a+nd，…中如果a和d互素，那么该等差级数中会有无限多个素数。

二.素数Riemannzeta函数满足函数方程s??1-s。(Riemann猜测)：Riemannzeta函数的非平凡零点在实部为1/2的竖直线。

二.素数如果p和p+2都是素数，称〔p，p+2〕为孪生素数。如〔3，5〕；〔5，7〕；〔11，13〕；〔17，19〕等等。猜测：孪生素数有无限多对？

二.素数Green-Tao定理：对任意正整数n，存在长度为n且每一项都是素数的等差级数。例如：{3，7，11}(n=3){5，11，17，23，29}(n=5)

二.素数目前用计算机明确找到最长的素数等差级数是

二.素数猜测1:(Goldbach猜测)任意大于2的偶数都可写成两个素数的和。猜测2:(Schinzel猜测):首项系数为正的整系数不可约多项式,假设没有固定正因子,那么存在无限多个素数可表示为该多项式的形式。

二.素数特例:(Landau猜测)是否存在无限多素数可写为x+1的形式？类似地，可以有多个变元和假设干个多项式的Schinzel猜测。

二.素数Dirichlet定理：对任给定的非退化本原二元二次型，都存在无限多个素数可表示为该二元二次型的形式。Iwaniec将这个结果推广到二元二次非退化本原多项式情形。

二.素数Friedlander-Iwaniec〔1998〕定理：存在无限多个素数可以表示为x+y的形式。Heath-Brown〔2001〕定理：存在无限多个素数可以表示为x+2y的形式。

三.丢番图方程整数为系数的多项式方程都称为丢番图方程。希尔伯特第十问题：是否存在一个能确定整系数多项式方程有无整数解的算法？答案：否。(Davies-Putnam-Robinson-Matijasevic-Cudnovskii)

三.丢番图方程必要条件：1〕方程在实数域上有解。2〕方程模任何整数m有解。

三.丢番图方程例：方程没有整数解。〔没有实数解〕。例：方程没有整数解。〔模3没有解〕。

三.丢番图方程设为素数。由中国剩余定理：

三.丢番图方程对素数p，考虑〔乘积拓扑〕的闭包。记为Zp。上述必要条件:方程在实数域R和Zp上均有解。此时称方程局部有解。

四.线性方程由带余除法法：线性方程有整数解当且仅当方程局部有解，即上述必要条件也是充分条件。

五.二次方程·一个二次齐次整系数方程有本原解当且仅当该方程局部有非平凡解。〔Hasse-Minkowski定理〕·一般一个二次整系数方程局部有解推不出它有整数解。这个问题有比较完整的答案，但仍没有得到彻底解决。

五.二次方程例(Fermat)：假设二次齐次方程F(x,y,z)=0有一个非平凡的整数解，那么该方程有无限多组本原整数解，由Q∪{∞}参数化。费马的证明：F(x,y,z)=0有非平凡的整数解一一对应于的有理解。

五.二次方程·(Fermat-Gauss):一个整数可表为两个整数的平方和当且仅当局部可表为两平方和。·(Gauss-Legendre):一个整数可表为三个整数的平方和当且仅当局部可表为三平方和。·(Lagrange):每个正整数可表为四个整数的平方和。

六.三次方程·三次齐次多项式局部有