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基础课40空间向量及其运算和空间位置关系

课时评价·提能

基础巩固练

1.[2024·孝感模拟]已知点P0,1,0，Q

A.?2,?1,?1 B.1,?

[解析]由题意得，PQ=?2,?1,1

逐项分析即可知只有选项C符合要求.故选C.

2.若向量a=1,λ,2，b=?2,1

A.1 B.3 C.2 D.4

[解析]∵a=1

∴a?b=?2

又a，b夹角的余弦值为16

∴16=a

解得λ=1．故选

3.已知直线l的一个方向向量为e=(?1,2,12)，平面α的一个法向量为n=?3

A.1 B.2 C.?2 D.

[解析]因为l//α，所以e⊥n，所以e?n=0，即

4.已知平面α内两向量a=1,1,1，b=0,2,?1，且

A.?1，2 B.1，?2 C.1，2 D.?

[解析]c=ma+nb+4,?4,1=m,m,m+0,

5.设u=?2,2,t，v=6,?4

A.3 B.4 C.5 D.6

[解析]∵α⊥β，∴u?v

6.已知P是△ABC所在的平面外一点，若AB=?2,1,

A.BP//AC B.AP//BC C.

[解析]依题意，有BP=AP?

对于A，因为43≠?2?3≠0?3，所以BP

对于B，因为16≠?2?3≠1?4，所以AP

对于C，因为AB?AP=?2?2+4=

对于D，因为AP?BP=1×3+?2

7.如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E

A.BD1⊥平面B1EF

C.A1C1//平面B1

[解析]分别以DA,DC,DD1的方向为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，设AB=2，则B12,2,2,E2,1,0,F1,2,0,B2,2,0,A12,0,2,C10,2,2,D10,0,2，所以EF=?1,1,0,EB1=0,1,2,BD1=?2,?2,2,DB=2,2,0，A1C1=?2,2,0,DA1=2,0,2.设平面B1EF

8.如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，点F在棱C

A.14 B.13 C.12

[解析]如图，以A为原点，AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，

则B1,0,0,E(0,1,1

可得BA1=?1

设n=x,y,z

则n?

令z=2，则x=2,y

由D1C1=1,0

又因为B11,0

由B1F//平面A1BE，可得n?B

综合提升练

9.（多选题）已知A?4,6,?1,B4

A.(?154,1,9) B.(154,1,?9

[解析]设平面AOB(O是坐标原点)的一个法向量

则u?OA→=0,u?OB→=0,即?4x+6y?z=0,4x+3y

10.（多选题）已知在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥AC

A.AC//平面A1BD B.CD

C.∠ADC的取值范围为(π4,π2]

[解析]依题作图，如图1，并将其补成正方体，如图2.

对于A,因为AC//A1C1，A1C1?平面A1BD，AC?平面A

对于B,如图1，以A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z

则A0,0,0，C0,1,0，B

设BD=λBC1，

CD=1?λ,

当λ=12时，CD⊥AC1，当λ≠12且λ∈0,1

对于C,判断以AC为直径的球与C1B

如图3，取AC的中点F，且点D平分C1B,连接FB,FC1,FD,则

所以以AC为直径的球与C1B没有交点，所以∠ADCπ2

对于D,将平面CBC1翻折至与平面ABC1共面，此时点C与E1重合，所以AD+DC的最小值为AE1，且A

11.如图,在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，已知AB=AA1=AD,∠BAD

[解析]取空间中一个基底：AB=a,AD=

因为BD⊥AN，所以

因为BD=AD?

所以b?a?c+λb

12.[2024·河南模拟]已知A?1,2,0，B1,2,1，C2

[解析]因为A?1,2,0，B1,2,1，

因为PA⊥平面ABC，AB，AC?平面

所以AB→?PA→=0,

所以点P的坐标为1,

应用情境练

13.如图1，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，且AB=BC=2AD=4，E，F分别为线段AB，CD的中点，沿EF把四边形AEFD折起，使平面AEFD⊥平面EBCF，得到如图2所示的立体图形.以E为坐标原点，EB,EF,EA的方向分别为x,

[解析]由题意得A0,0,2，C2,4,0，D0,2,2，F0,3,0

14.古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势.“曲池”的简易图如图所示，上、下底面均为半圆环，AA1⊥平面A1EB1,AA1=3,AB?

[解析]