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非学科培训
自学资料
主题：菱形的性质及判定
自学五步法
一、菱形及其性质
【知识探索】
1．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
【说明】菱形的面积还可用对角线乘积除以2求得．
2．菱形的性质：
（1）菱形的四条边都相等；
（2）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
【说明】
（1）菱形具有平行四边形的所有性质；
（2）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形．1个对称中心，对称中心是其对角线的交点；2条对称
轴，对称轴是其对角线所在的直线．
【错题精练】
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非学科培训
例1．（2002•杭州）如图所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD等于（）
A.4
B.3
C.2
D.1
【解答】C
【答案】C
【举一反三】
1．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，若，，则点的坐标是
__________。
【解答】
二、菱形的判定
【知识探索】
1．菱形的判定：
（1）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（2）四条边都相等的四边形是菱形．
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非学科培训
【错题精练】
例1．如图．若要使平行四边形ABCD成为菱形．则需要添加的条件是（）
A.AB=CD
B.AD=BC
C.AB=BC
D.AC=BD
【解答】C
【答案】C
例2．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH
是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是__________．
【解答】菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：
①定义；
②四边相等；
③对角线互相垂直平分．据此四边形ABCD还应满足的一个条件是AD=BC．等．答案不唯一．
例3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，
并且AF=CE．
（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论．
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非学科培训
【答案】
例4．△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），△ADE是以
AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、AC于点F、G，连接BE．
（1）如图（a）所示，当点D在线段BC上时．
①求证：△AEB≌△ADC；
②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由；
（2）如图（b）所示，当点D在BC的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立；
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非学科培训
32DBCGE
（）在（）的情况下，当点运动到什么位置时，四边形是菱形？并说明理
由．
【解答】此题要熟练多方面的知识，特别是全等三角形和平行四边形和菱形的判定．
证明：（1）①∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AE=AD，AB=
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