易错点10 不等式（解析版）.docx

易错点10不等式

易错点1：线性规划

求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.

易错点2：基本不等式

均值不等式（当仅当a=b时取等号）注意：①一正二定三相等；

②变形：（当仅当a=b时取等号）

易错点3：绝对值不等式

(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：

①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．

(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．

易错点4：柯西不等式

(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明．

(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为

(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n))(eq\f(1,a\o\al(2,1))＋eq\f(1,a\o\al(2,2))＋…＋eq\f(1,a\o\al(2,n)))≥(1＋1＋…＋1)2＝n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．

题组1线性规划

1．（2021浙江卷）若实数满足约束条件，则的最小值是（）.

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】如图，画出可行域，显然过点时，取到最小值，即，故选B．

2．（2021年全国乙卷文）若，满足约束条件则的最小值为

A．18B．10C．6D．4

【答案】C

【解析】由约束条件可得可行域如图所示，当直线过点时，取最小值为6，故选C．

3．（2021上海卷）已知，，则的最大值为___________．

【答案】4

【解析】画出可行域易得最优解为，所以的最大值为

4.（2020?全国1卷）若x，y满足约束条件则z＝x＋7y的最大值为______

【答案】1.

【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，

目标函数即：，

其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，

据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，

联立直线方程：，可得点A的坐标为：，

据此可知目标函数的最大值为：.故答案为：1．

题组2基本不等式

5．（2021年全国乙卷文）下列函数最小值为4的是（）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由题意可知A的最小值为3，B的等号成立条件不成立，D无最小值．

6．（2020年新全国1山东）已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则（）

A. B.

C. D.

【答案】ABD

【解析】对于A，，

当且仅当时，等号成立，故A正确；

对于B，，所以，故B正确；

对于C，，

当且仅当时，等号成立，故C不正确；

对于D，因为，

所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：ABD

7.（2020年天津卷）已知，且，则的最小值为_____．

【答案】4

【解析】，,

，当且仅当＝4时取等号，

结合,解得，或时，等号成立.

故答案为：

8.（2020年江苏卷）已知，则的最小值是_______．

【答案】

【解析】∵,∴且

∴，当且仅当，即时取等号.∴的最小值为.故答案为：.

题组3含绝对值不等式

9.（2021年全国甲卷）已知函数，.

画出和的图像.

若，求的取值范围.

【答案】见解析

【解析】易知

则和的图像为

由（1）中的图可知，是左右平移个单位得到的结果，向右平移不合题意，向左平移至的右支过点曲线，上的点为临界状态，此时右支的解析式为，由点在可知，解得，若要满足题意，则要再向左平移，则,则的取值范围为

10.（2021年全国乙卷）已知函数.

（1）当时，求不等式≥的解集；

（2）若，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）当时，≥≥，

当≤时，不等式≥，解得≤；

当时，不等式≥，解得；

当≥时，不等式≥，解得≥.

综上，原不等式的解集为.

（2）若，即，

因为≥（当且仅当≤时，等号成立），所以，所以，即或，解得.

11．（2020全国Ⅰ文理22）已知函数．

（1）画出的图像；

（2）求不等式的解集．

【解析】（1）∵，作出图像，如图所示：

（2）将函数的图像向左平移个单位，可得函数的图像，如图所示：

由，解得，∴不等式的解集为．

12．（2020江苏23）设，解不等式．

【答案】

【解析】或或，

或或，∴解集为．

题组4格西不等式

13．（2021年浙江卷）已知平面向量，，满足，，，．记平面向量