湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第8章立体几何与空间向量 课时规范练58 翻折问题与探索性问题.ppt

课时规范练58翻折问题与探索性问题

12341.(2023·甘肃一诊)如图1所示的正方形AAA1A1中,AA1=12,AB=A1B1=3,BC=B1C1=4,对角线AA1分别交BB1,CC1于点P,Q,将正方形AAA1A1沿BB1,CC1折叠使得AA1与AA1重合,构成如图2所示的三棱柱ABC-A1B1C1.图1图2(2)求平面APQ与平面A1PQ夹角的余弦值.

1234(1)证明在题图2中,过点M作MN∥CQ,交AQ于点N,连接PN,则MN∥PB,∴M,N,P,B四点共面,且平面MNPB交平面APQ于直线PN.题图1中,∵AB=3,BC=4,∴在三棱柱中,AC=5.∴四边形MNPB为平行四边形,∴BM∥PN.又PN?平面APQ,BM?平面APQ,∴BM∥平面APQ.

1234(2)解由(1)知,在三棱柱中,AC2=AB2+BC2,∴AB⊥BC.设平面APQ的法向量为n=(x,y,z),

1234取x=1,则y=-1,z=1,得n=(1,-1,1).设平面A1PQ的法向量为m=(x1,y1,z1),

12342.(2024·山东烟台模拟)如图,圆柱的轴截面ABCD是边长为6的正方形,下底面圆的一条弦EF交CD于点G,其中DG=2,DE=DF.(1)证明:平面AEF⊥平面ABCD.(2)判断上底面圆周上是否存在点P,使得二面角P-EF-A的余弦值为?若存在,求AP的长;若不存在,请说明理由.

1234(1)证明由题意可知在下底面圆中,CD为直径.因为DE=DF,所以G为弦EF的中点,且EF⊥CD.因为EF⊥AD,AD∩CD=D,AD,CD?平面ABCD,所以EF⊥平面ABCD.因为EF?平面AEF,所以平面AEF⊥平面ABCD.(2)解设平面PEF交圆柱上底面于PQ,因为圆柱的上、下底面平行,所以平面PEF与上、下底面的交线平行,即EF∥PQ.设PQ交AB于点H.则二面角P-EF-A的大小就是二面角H-EF-A的大小.分别以下底面垂直于DC的直线,直线DC,直线DA为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.

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12343.(2023·甘肃兰州诊断)如图所示的五边形SBADC中,ABCD是矩形,BC=2AB,SB=SC,沿BC折叠成四棱锥S-ABCD,点M是BC的中点,SM=2.(2)在(1)的条件下求直线SC与平面SAD所成角的正弦值.

1234(1)证明选条件①②.因为在四棱锥S-ABCD中,SB=SC,点M是BC的中点,SM=2,所以SM⊥BC.因为SM⊥BC,SM⊥AM,AM∩BC=M,AM,BC?平面ABCD,所以SM⊥平面ABCD.又因为SM?平面SBC,所以平面SBC⊥平面ABCD.

1234选条件①③.因为在四棱锥S-ABCD中,SB=SC,点M是BC的中点,SM=2,所以SM⊥BC.因为SM⊥BC,SM⊥AM,AM∩BC=M,AM,BC?平面ABCD,所以SM⊥平面ABCD.又因为SM?平面SBC,所以平面SBC⊥平面ABCD.

1234选条件②③.因为在四棱锥S-ABCD中,SB=SC,点M是BC的中点,SM=2,所以SM⊥BC.

1234因为SM⊥BC,SM⊥AM,AM∩BC=M,AM,BC?平面ABCD,所以SM⊥平面ABCD.又因为SM?平面SBC,所以平面SBC⊥平面ABCD.

1234(2)由(1)知,SM⊥平面ABCD,且MD⊥AM.

12344.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AD⊥CD,且(1)求证:AB⊥PC.(2)在线段PD上,是否存在一点M,使得二面角M-AC-D的大小为45°?如果存在,求BM与平面MAC所成角的正弦值;如果不存在,请说明理由.

1234(1)证明如图,由已知得,四边形ABCD是直角梯形.∵PA⊥平面ABCD,AB?平面ABCD,∴PA⊥AB.又PA∩AC=A,PA,AC?平面PAC,∴AB⊥平面PAC.又PC?平面PAC,∴AB⊥PC.

1234(2)解(方法一)存在.过点M作MN⊥AD交AD于点N,则MN∥PA.∵PA⊥平面ABCD,∴MN⊥平面ABCD.过点M作MG⊥AC交AC于点G,连接NG,则∠MGN是二面角M-AC-D的平面角.若∠MGN=45°,则NG=MN.

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本课结束