湘教版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第4章 4.5.2 几种简单几何体的体积.ppt

;;内容索引;基础落实?必备知识全过关;知识点1棱柱、棱锥、棱台的体积;过关自诊

1.等底等高的棱柱和棱锥,它们的体积之间有什么关系?;知识点2圆柱、圆锥的体积

1.V圆柱=πr2h(r是圆柱的底面半径,h是圆柱的高)

2.V圆锥=πr2h(r是圆锥的底面半径,h是圆锥的高);过关自诊

右图是由圆柱与圆锥构成的组合体,下部是圆柱,其轴截面是边长为4的正方形,上部为圆锥,其高为3,则该几何体的体积为.?;知识点3球的体积

若球的半径为R,则球的体积为V=πR3.;重难探究?能力素养全提升;;规律方法柱体的体积公式V=Sh(S为底面面积,h为高),特别地,圆柱的体积公式也可以表示为V=πr2h(r为底面半径,h为高).因此求柱体体积的关键是求出底面积与高.;变式训练1

如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1A=2,AB=1,那么该正四棱柱的体积为()

A.1 B.2

C.4 D.8;;答案(1)C(2)A;(2)作圆锥的轴截面(如图所示).

由题设,在△PAB中,∠APB=90°,PA=PB.;规律方法1.锥体的体积公式V=Sh(S为底面面积,h为高),特别地,圆锥的体积公式也可以表示为V=πr2h(r为底面半径,h为高).因此求锥体体积的关键是求出底面面积与高.

2.求解三棱锥的体积时,由于三棱锥的每一个面均可以看作是底面,因此要注意根据几何体的特征变换顶点.;变式训练2

(1)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,S是棱A1B1上任意一点,四棱锥S-ABCD的体积与正方体ABCD-A1B1C1D1的体积之比为()

A.1∶2 B.1∶3

C.1∶4 D.不确定;答案(1)B(2)D;;规律方法1.棱台的体积公式(S,S分别为上、下底面面积,h为高),因此求棱台体积的关键是求出上、下底面面积和高.

2.涉及与正棱台有关的几何计算,应根据正棱台底面正多边形的特征构造与下底面正多边形边上的高、正棱台的高有关的直角三角形再求解.;;规律方法与球有关的组合体一般有两类,一类是与球内接的组合体,在此类组合体中,球心与多面体顶点的连线是半径;另一类是与球外切的组合体,在这一类组合体中,球心与各切点的连线是半径.在解答与球有关的组合体问题时,要注意这些半径的应用.;变式探究

求本例所给四面体外接球的体积.;;规律方法求组合体体积的方法:

(1)分析结构特征.明确组合体的组成形式,找准有关简单几何体的关键量.

(2)设计计算方法.根据组成形式,利用“切割”“补形”的方法设计计算方法求体积.

(3)计算求值.根据设计的计算方法求值.;;解析(方法1分割法)分别取AB,CD的中点G,H,连接EG,GH,EH.

把该多面体分割成一个四棱锥E-AGHD与一个三棱柱EGH-FBC.;(方法2分割法)如图,连接EB,EC.

把该多面体分割成一个四棱锥E-ABCD和一个三棱锥F-EBC.;(方法3补体法)延长FE到G,使FE=EG,连接GA,GD,把该多面体补上一个三棱锥E-ADG.

∵在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是边长为3的正方形,EF∥AB,平面FBC⊥平面ABCD,

∴几何体FBC-GAD是一个直三棱柱.

过点F作FH⊥BC,垂足为H,则FH⊥平面ABCD,

∴△FBC的边BC上的高FH=2.;规律方法当给出的几何体比较复杂,有关的计算公式无法运用,或者几何体并不复杂,但条件中的已知元素彼此离散时,我们可采用“割”“补”的技巧,化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台),或化离散为集中,为解题提供便利.

(1)几何体的“分割”

几何体的分割即将已给的几何体按照结

论的要求,分割成若干个易求体积的几何体,进而求之.

(2)几何体的补形

与分割一样,有时为了计算方便,可将几何体补成易求体积的几何体,如长方体、正方体等.另外补台成锥是常见的解决棱台侧面积与体积的方法.;学以致用?随堂检测全达标;1.如图所示,已知正六棱柱的最大对角面的面积为1m2,互相平行的两个侧面间的距离为1m,则这个六棱柱的体积为();2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,若AB=PD=3,AD=2,则该四棱锥的体积为();4.把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱,则圆柱的高为.?;5.在一个如图所示的直角梯形ABCD内挖去一个扇形,E恰好是梯形的下底的中点,将剩余平面图形绕直线DE旋转一圈,求所得几何体的表面积和体积.;解所求几何体是上部是圆锥,下部是圆柱挖去一个半球体的组合体,

则该组合体的表面积为S组合体=S圆锥侧+S圆柱侧+S半球;本课结束