湘教版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件 第1章 导数及其应用 1.1.2 瞬时变化率与导数.pptVIP

第1章1.1.2瞬时变化率与导数

课程标准1.理解平均速度与瞬时速度的关系,会求运动物体的瞬时速度.2.理解函数的导数的含义以及瞬时变化率与导数的关系,能够根据瞬时变化率求函数在某一点处的导数.

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基础落实·必备知识一遍过

知识点1瞬时速度若物体的运动方程为s=f(t),则物体在任意时刻t的瞬时速度v(t),就是平均速度v(t,d)=在d趋近于0时的极限.?变速运动的物体在不同时刻的瞬时速度不同无限接近但是不等于

名师点睛从物理角度看,瞬时速度就是将平均速度的时间段改为时间点,即让时间段[t,t+d](d0)或者[t+d,t](d0)中的时间间隔|d|无限趋近于0,此时时间段[t,t+d](d0)或者[t+d,t](d0)中平均速度就无限趋近于t时刻的瞬时速度.

自主诊断1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)若物体的运动方程为s(t)=2t+1,则物体在每一时刻的瞬时速度都是相等的.()(2)运动物体在任意时刻t的瞬时速度公式中,d只能大于0.()√×

2.一质点做直线运动,若它所经过的路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系为s(t)=4t2-3,则该质点在t=5s时的瞬时速度为()A.7m/s B.10m/sC.37m/s D.40m/sD

知识点2函数的瞬时变化率与导数1.瞬时变化率:一般地,若函数y=f(x)的平均变化率在d_______时,有确定的极限值,则称这个值为该函数在x=u处的瞬时变化率.?不是函数在x=u处的函数值该值在数学上称为函数的导数或微商趋近于0

2.导数或微商:设函数y=f(x)在包含x0的某个区间上有定义,在d趋近于0时,如果比值趋近于一个确定的极限值,则称此极限值为函数y=f(x)在x=x0处的导数或微商,记作.这时我们就说f(x)在点x0处的导数存在,或者说f(x)在x0处可导或可微,简记为→f(x0)(d→0).?f(x0)

3.导函数:若y=f(x)在定义区间中任一点的导数都存在,则f(x)(或y)也是x的,我们把f(x)(或y)叫作y=f(x)的导函数或一阶导数.导函数f(x)也是x的函数,如果f(x)在定义区间中任一点处都可导,则它的导数叫作f(x)的,记作f″(x).类似地,可以定义三阶导数f″(x)等等.?函数二阶导数

名师点睛1.瞬时变化率的实质是当平均变化率中自变量的改变量趋近于0时的值,它刻画函数值在某处变化的快慢.2.导数定义的理解:(1)函数应在x0处的附近有定义,否则导数不存在.(2)在极限式中,d趋近于0且d是自变量x在x0处的改变量,所以d可正可负,但不能为0.当d0(或d0)时,d→0表示x0+d从右边(或从左边)趋近于x0.(3)函数在某一点处的导数就是在该点附近的因变量的改变量与自变量的改变量之比的极限,它是个常数,不是变量.

3.f(x0)与f(x)的关系:项目区别联系f(x0)f(x0)是具体的值,是数值在x=x0处的导数f(x0)是导函数f(x)在x=x0处的函数值,因此求函数在某一点处的导数,一般先求导函数,再计算导函数在这一点的函数值f(x)f(x)是根据函数f(x)在定义区间I上每一点都存在的导数而定义的一个新函数,是函数

自主诊断判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)函数f(x)=0没有导函数.()(2)运动物体的瞬时速度等于路程函数y=s(t)的瞬时变化率.()(3)函数y=f(x)在x=x0处的导数,就是其导函数f(x)在x=x0处的函数值.()×√√

重难探究·能力素养速提升

探究点一瞬时速度【例1】一运动物体的位移s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系是s(t)=3t-t2.(1)求此物体的初速度;(2)求此物体在t=2s时的瞬时速度.

变式探究本题中位移与时间的关系式不变,若物体在时刻t0的瞬时速度为-15m/s,求t0.当d→0时,3-2t0-d→3-2t0.因此运动物体在t0时刻的瞬时速度是3-2t0.令3-2t0=-15,得t0=9s.

规律方法做变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的,时刻t0的瞬时速度,即为运动物体在[t0,t0+d]的平均速度在d趋近于0时的极限.因此求运动物体的瞬时速度,首先计算运动物体的平均速度.

探究点二函数的瞬时变化率与函数的导数【例