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专题5-2数列递推及通项应用
目录
TOC\o1-1\h\u题型01递推基础：等差数列定义型 1
题型02递推基础：等比数列定义型 2
题型03累加法求通项 3
题型04累加法求通项：裂项型 3
题型05累加法求通项：换元型 4
题型06累积法求通项 5
题型07待定系数型等比求通项 6
题型08分式型求通项 6
题型09不动点方程求通项 7
题型10前n项和型求通项 8
题型11前n项积型求通项 8
题型12因式分解型求通项 9
题型13同除型构造等差数列求通项 10
题型14同除型构造等比数列求通项 10
题型15周期数列求通项：分段型 11
题型16周期数列求通项：三阶型 11
题型17奇偶各自独立型求通项 12
高考练场 13
题型01递推基础：等差数列定义型
【解题攻略】
等差数列的判定方法
①定义法：“欲证等差，直接作差”，即证an＋1－an＝定值；
②等差中项法：即证2an＋1＝an＋an＋2；
③函数结论法：即an为一次函数或Sn为无常数项的二次函数.
【典例1-1】（2024上·山东威海·高三统考）已知数列，对都有，且，则.
【典例1-2】（2024上·天津·高三天津市第一百中学校联考期末）在数列中，，且，则.
【变式1-1】（2023下·全国·高三校联考阶段练习）已知数列满足，则，.
【变式1-2】（2024上·海南海口·高三海南中学校考）在数列中，，则．
【变式1-3】（2023上·四川成都·高三校联考阶段练习）已知各项均不为0的数列满足，且，则．
题型02递推基础：等比数列定义型
【解题攻略】
等比数列的判定方法：
(1)定义法：“欲证等比，直接作比”，即证eq\f(an＋1,an)＝q(q≠0的常数)?数列{an}是等比数列；
(2)等比中项法：即证aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N*)?数列{an}是等比数列．
【典例1-1】（2023·河南郑州·统考二模）已知正项数列的前项和为，且，则（????）
A． B． C． D．
【典例1-2】（2022·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知数列满足：对任意的m，，都有，且，则（????）
A． B． C． D．
【变式1-1】．（2022上·山东日照·高三统考）正项数列中，（k为常数），若，则的取值范围是（????）
A． B．[3，9] C． D．[3，15]
【变式1-2】（2022·陕西·校联考模拟预测）在数列中，，数列是公比为2的等比数列，设为的前项和，则下列结论错误的是（????）
A． B．
C．数列为递减数列 D．
【变式1-3】（2022·山西吕梁·统考一模）已知为数列的前n项和，且，，则（????）
A． B． C． D．
题型03累加法求通项
【解题攻略】
对于递推公式为，一般利用累加法求出数列的通项公式；
【典例1-1】已知数列满足，，则的最小值为（????）
A．2-1 B． C． D．
【典例1-2】已知数列中，，时，，______.
【变式1-1】（2023下·北京·高三北京八中校考）若数列满足，则通项公式为.
【变式1-2】（2022·陕西西安·西安中学校考模拟预测）已知数列满足，，则数列的前100项和．
【变式1-3】．（2020上·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）设数列满足，，，则数列的前50项和是．
题型04累加法求通项：裂项型
【解题攻略】
形如：的数列的递推公式，采用累乘法求通项；
利用累乘法求通项：
【典例1-1】（2022·北京·清华附中高三开学考试（理））已知数列满足，，则的通项公式为__．
【典例1-2】（2023上海市南洋模范中学高三阶段练习）数列中，，，则数列的通项公式________.
【变式1-1】（2023下·北京昌平·高三北京市昌平区第二中学校考）已知数列满足，则=（????）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023下·山东潍坊·高三山东省昌乐第一中学校考阶段练习）已知数列满足，，则的通项为（????）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【变式1-3】（2021·全国·高三专题练习）在数列中，，，则（????）
A． B． C． D．
题型05累加法求通项：换元型
【典例1-1】（2022·全国·高三阶段练习（理））已知数列满足,数列的通项公式为___________.
【
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