基础课06 函数的概念及其表示 (2).docxVIP

第二单元函数

基础课06函数的概念及其表示

考点考向

课标要求

真题印证

考频热度

核心素养

函数的概念及表示

了解

2023年上海卷T

2022年北京卷T

★☆☆

数学抽象

数学运算

逻辑推理

分段函数

理解

2023年北京卷T

2022年浙江卷T

2022年北京卷T

★★★

数学运算

逻辑推理

命题分析预测

从近几年高考的情况来看，函数的概念及其表示是高考常考内容，一般以选择题的形式出现，试题较为简单.命题热点为函数解析式的应用，预计2025年高考命题情况变化不大

一、函数的有关概念

1.函数的概念

前提

集合A,B是两个①非空数集

对应关系

对于集合A中的②任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有③唯一确定的数y和它对应

名称

称f：A→B为从集合

记法

④y=f

2.构成函数的三要素

定义域

在函数y=fx,x∈A中，x叫作⑤自变量，

值域

与x的值相对应的y值叫作函数值，函数值的集合{fx

三要素

⑧定义域、⑨对应关系、⑩值域是构成函数的三要素

3.表示函数的常用方法

解析法

一般情况下，必须注明函数的定义域

列表法

选取的自变量要有代表性，能反映定义域的特征

图象法

注意定义域对图象的影响：与x轴垂直的直线与函数图象最多有一个公共点

二、分段函数

定义

若函数在其定义域的不同子集上，因?对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数

相关概念

分段函数的定义域等于各段函数定义域的?并集，其值域等于各段函数值域的?并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示同一个函数

注意以下几个特殊函数的定义域：

（1）分式型函数：分母不为零的实数集合.

（2）偶次方根型函数：被开方式非负的实数集合.

（3）当fx

（4）若fx=x

（5）正切函数y=tanx

题组1走出误区

1.判一判.（对的打“√”,错的打“×”）

（1）函数y=1与y=

（2）函数fx=x?1

（3）对于函数f：A→B，其值域是集合

（4）分段函数是由两个或几个函数组成的.(×)

2.（易错题）已知fx=x

【易错点】本题容易忽视新元的取值范围.

[解析]令t=x，则t≥0，x=

题组2走进教材

3.（人教A版必修①P65·例2（1）改编）函数fx=x

[解析]使根式x?5有意义的实数x的取值集合是{x|x≥5}，使分式18?x

4.（人教A版必修①P65·例2（2）改编）已知fx=x+3+1

[解析]因为fa=133,所以a+3+

题组3走向高考

5.[2023·新高考Ⅱ卷改编]函数fx=x

[解析]若函数fx=x+a?ln2x?1

考点一函数的概念［自主练透］

1.在下列四个图象中，是函数图象的所有序号为(C).

A.12 B.123 C.1

[解析]根据函数的定义，一个自变量的值对应唯一一个函数值或者多个自变量的值对应唯一一个函数值，显然只有（2）不满足.故选C.

2.下列各组函数是同一函数的所有序号为(C).

①fx=

②fx=

③fx=

④fx=

A.①② B.①③ C.③④ D.①④

[解析]对于①，fx=?2x3的定义域为?∞,0，gx=

对于②,gx=x2x=x，所以fx=x与

对于③,fx=x0的定义域为{x|x≠0}，gx

对于④,fx=x2+2x+1的定义域为R，gt

1.函数的定义要求非空数集A中任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，但不能“一对多”，因此B中有可能存在与A中元素不对应的元素.

2.判断两个函数是否为同一函数，就是看构成函数的三要素是否完全相同，而在构成函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同.

考点二函数的定义域［多维探究］

具体函数的定义域

典例1函数fx=2x+1

[解析]由题意可知5x?30,x?1≠

抽象函数的定义域

典例2已知函数y=fx的定义域为[?1,

[解析]因为y=fx的定义域为[?1,5]，所以2x

变式设问1若将例2中的条件“函数y=fx的定义域为[?1,5]”改为“函数y

[解析]因为y=f2x+1的定义域为[?1,

变式设问2若将例2中的条件“函数y=fx的定义域为[?1,5]”改为“函数y

[解析]由变式设问1可知函数y=fx的定义域为[?1,11]，所以1?3x

求函数定义域的类型及解题策略

求具体函数的定义域

（1）求给定函数的定义域：已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，根据函数的解析式列出自变量满足的不等式（组），再求解即可.

（2）实际问题：由实际意义及函数解析式存在的意义列出自变量满足的不等式（组），再求解即可

求抽象函数的定义域

若已知函数fx的定义域为[a,b]

若已知函数fgx的定义域为[a