反比例函数综合复习.docx

反比例函数综合复习

知识点01：反比例函数的概念

一般地，形如(为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.

【易错点剖析】

在中，自变量的取值范围是，()可以写成()的形式，也可以写成的形式.

知识点02：反比例函数解析式的确定

反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式.

知识点03：反比例函数的图象和性质

1.反比例函数的图象

反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与轴、轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．

【易错点剖析】

观察反比例函数的图象可得：和的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．

①的图象是轴对称图形，对称轴为两条直线；

②的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）；

③(k≠0)在同一坐标系中的图象关于轴对称，也关于轴对称.

注：正比例函数与反比例函数，

当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称.

2.反比例函数的性质

（1）图象位置与反比例函数性质

当时，同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小；当时，异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大.

（2）若点()在反比例函数的图象上，则点（）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称.

（3）正比例函数与反比例函数的性质比较

正比例函数

反比例函数

解析式

图像

直线

有两个分支组成的曲线（双曲线）

位置

，一、三象限；

，二、四象限

，一、三象限

，二、四象限

增减性

，随的增大而增大

，随的增大而减小

，在每个象限，随的增大而减小

，在每个象限，随的增大而增大

（4）反比例函数y＝中的意义

①过双曲线(≠0)上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.

②过双曲线(≠0)上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.

知识点04：应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点

1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题.

2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围.

易错考点一：反比例函数的定义

【易错题精讲】下列函数中，变量y是x的反比例函数的是（）

A．y=x2 B．y=2x+1 C．

【变式练习1】下列函数中，y是x的反比例函数的为（）

A．y＝2x+1 B．y=2x2 C．y=3x D．

【变式练习2】已知函数y＝（m﹣1）xm2?2是反比例函数，则m的值为

易错考点二：反比例函数的图象

【易错题精讲】函数y=?1

A． B．

C． D．

【变式练习1】若一个数a大于它的倒数，结合y=1x和y＝x的图象（如图），可知a的取值范围是

【变式练习2】如图①，有一块边角料ABCDE，其中AB，BC，DE，EA是线段，曲线CD可以看成反比例函数图象的一部分．测量发现：∠A＝∠E＝90°，AE＝5，AB＝DE＝1，点C到AB，AE所在直线的距离分别为2，4．

（1）小宁把A，B，C，D，E这5个点先描到平面直角坐标系上，记点A的坐标为（﹣1，0）；点B的坐标为（﹣1，1）．

请你在图②中补全平面直角坐标系并画出图形ABCDE；

（2）求直线BC，曲线CD的函数表达式；

（3）小宁想利用这块边角料截取一个矩形MNQP，其中M，N在AE上（点M在点N左侧），点P在线段BC上，点Q在曲线CD上．若矩形MNQP的面积是53，则PM＝

易错考点三：反比例函数图象的对称性

【易错题精讲】边长为4的正方形ABCD的对称中心是坐标原点O，AB∥x轴，BC∥y轴，反比例函数y=2x与y=?2

A．2 B．4 C．8 D．6

【变式练习1】如图所示，正比例函数y＝k1x与反比例函数y=k2x的图象有一个交点（2，﹣1），则这两个函数图象的另一个交点坐标是

【变式练习2】如图，已知直线y＝mx与双曲线y=kx的一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是

易错考点四：反比例函数的性质

【易错题精讲】已知反比例函数y=kx（k≠0），且在各自象限内，y随

A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（3，0） D．（﹣3，0）

【变式练习1】反比例函数y=k?1x的图象分布在第一、三象限内，则k的取值范围为

【变式练习2】