湘教版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件 第2章 空间向量与立体几何 2.3.2 空间向量运算的坐标表示.pptVIP

第2章2.3.2空间向量运算的坐标表示

课程标准1.掌握空间向量运算的坐标表示,并会判断两个向量是否共线或垂直.2.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式,并能运用这些公式解决简单几何体中的问题.

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基础落实·必备知识一遍过

知识点1向量线性运算的坐标表示设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),空间向量的坐标运算法则如表所示:运算自然语言坐标表示加法两个向量a,b的和的坐标等于这两个向量相应坐标的?a+b=?减法两个向量a,b的差的坐标等于这两个向量相应坐标的?a-b=?数乘一个实数λ与向量a乘积的坐标等于这个实数乘向量相应的坐标λa=,λ∈R?和(x1+x2,y1+y2,z1+z2)差(x1-x2,y1-y2,z1-z2)(λx1,λy1,λz1)

运算自然语言坐标表示a∥b,a≠0一个向量坐标是另一个向量对应坐标的λ倍b=λa?,λ∈R?x2=λx1,y2=λy1,z2=λz1

自主诊断1.已知向量a=(3,-1,2),b=(-2,3,1),则4a+2b等于()A.(16,0,4) B.(8,2,10)C.(8,16,4) D.(8,0,4)2.若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则a∥b一定有成立吗?B解析4a+2b=4(3,-1,2)+2(-2,3,1)=(12,-4,8)+(-4,6,2)=(8,2,10).

知识点2向量数量积的坐标表示设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),向量的数量积及相关运算如下:两向量的数量积a·b=?模|a|==?两个非零向量的夹角垂直a⊥b?a·b=0??x1x2+y1y2+z1z2x1x2+y1y2+z1z2=0

自主诊断1.已知A点的坐标是(-1,-2,6),B点的坐标是(1,2,-6),O为坐标原点,则向量C

2.已知a=(1,x,3),b=(-2,4,y),若a⊥b,则4x+3y=.?2解析由a⊥b,得1×(-2)+4x+3y=-2+4x+3y=0,∴4x+3y=2.

重难探究·能力素养速提升

探究点一空间向量的坐标运算【例1】已知在空间直角坐标系中,A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5).

(方法一)(p+q)·(p-q)=|p|2-|q|2=82-66=16.(方法二)p+q=(-5,5,14),p-q=(3,-5,4),所以(p+q)·(p-q)=-15-25+56=16.

规律方法1.一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.2.在确定了向量的坐标后,就可以使用空间向量的加减、数乘、数量积的坐标运算公式了,但要熟练应用有关的乘法公式:(1)(a+b)2=a2+2a·b+b2;(2)(a+b)·(a-b)=a2-b2.

变式训练1已知向量a=(2,1,-2),c=(-1,0,1),d=(-1,2,4),a·b=-1,b与c垂直,.从①b·d=2,②b·(a+d)=a·c,③|b|=3这三个条件中任选一个,补充在上面的横线中,并完成解答.?(1)求|a+2c+d|;(2)求向量b的坐标.

探究点二利用坐标求解空间向量的平行与垂直问题(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k.

∴ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4).∵(ka+b)⊥(ka-2b),∴(ka+b)·(ka-2b)=0,即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=2k2+k-10=0,

规律方法利用坐标研究向量平行与垂直问题的解题策略两向量的关系条件求解方法平行向量的坐标中不能确定是否有0通常需要引入参数(例如,已知a∥b,则引入参数λ,有a=λb),利用“两向量相等时对应的坐标相等”列方程组求解涉及平行的一个向量中的坐标无0利用对应坐标成比例列式求解垂直判断两向量是否垂直判断两向量的数量积是否为0根据垂直求参数利用两向量的数量积为0建立方程

变式训练2[北师大版教材习题]已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y).(1)若a∥b,求实数x,y的值;(2)若a⊥b,且|b|=,求实数x,y的值.解(1)由a∥b可得,存在实数λ,使a=λb,(2)由a⊥b得2×3+4x+5y=0,即4x+5y+6=0.①

探究点三向量坐标的实际应用【例3】