力学量的算符课件.pptVIP

第三章力学量的算符§3-1算符的引入代表对波函数进行某种运算或变换的符号由于算符只是一种运算符号，所以它单独存在是没有意义的，仅当它作用于波函数上，对波函数做相应的运算才有意义，例如：

?u=v表示?把函数u成v，?就是的算符。1）du/dx=v，2）xu=v，xd/dx就是算符，其作用是函数u微商，故称微商算符。也是算符。它u作用是使u成v。

体系状态用坐标表象中的波函数ψ(r)描写时，坐标x的算符就是其自身，即说明力学量在自身表象中的算符形式最简单。而动量p在坐标表象（非自身表象）中的形式x必须改造成动量算符形式：三维情况：

角动量算符

Hamilton算符rV(r)在势场中的粒子=+HTVr()h2r???HTVr=-?2+V(r)=+2m问题：算符、动量算符、Hamilton算符

§3-2算符的本征值和本征函数其中F,ψ分别称为算符F的本征值和相应的本征态，nn上式即是算符F的本征方程。求解时，ψ作为力学量的本征态或本征函数还要满足物理上对波函数的要求即波函数的标准条件。问题：本征值、本征态、本征方程

§3-3算符的运算规则线性厄米算符满足如下运算规律的（1）线性算符算符?称为线性算符?(cψ+cψ)=c?ψ+c?ψ11221122其中c,c是任意复常数，例如：12ψ,ψ是任意两个波函数。11开方算符、取复共轭就不是线性算符。注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。

（2）算符相等若两个算符?、?体系的任何波函数ψ的运算果都相同，即?ψ=?ψ，算符?和算符?相等?=?。

（3）算符之和若两个算符?、?体系的任何波函数ψ有：(?+?)ψ=?ψ+?ψ=êψ?+?=ê称算符之和。例如：体系Hamilton算符算符求和满足交换率和结合率。注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。?-?=?+（-?）。很易证明线性算符之和仍为线性算符。

（4）算符之积一般来算符之不足交律，即??≠??是算符与通常数运算的唯一不同之。若?(?ψ)=(??)ψ=êψ??=ê其中ψ是任意波函数。

（5）对易关系若??≠??，称?与?不易。然二者果不相等关系

写成通式:但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。量子力学中最基本的易关系。

（6）对易括号了表述，运算便利和研量子力学与典力学的关系，人定了易括号：[?,?]≡??-??不易括号足如下易关系：1)[?,?]=-[?,?]2)[?,?+ê]=[?,?]+[?,ê]3)[?,?ê]=[?,?]ê+?[?,ê]4)[?,[?,ê]]+[?,[ê,?]]+[ê,[?,?]]=0上面的第四式称Jacobi恒等式。返回

（7）逆算符1.定义:设?ψ=φ,能够唯一的解出ψ,则可定义算符?之逆?-1为:?-1φ=ψ并不是所有算符都存在逆算符,例如投影算符就不存在逆.

2.性质I:若算符?之逆?-1存在,则??-1=?-1?=I,[?,?-1]=0证:ψ=?-1φ=?-1(?ψ)=?-1?ψ因为ψ是任意函数,所以?-1?=I成立.同理,??-1=I亦成立.3.性质II:若?,?均存在逆算符,则(??)-1=?-1?-1

（8）算符函数设给定一函数F(x),其各阶导数均存在,其幂级数展开收敛则可定义算符?的函数F(?)为:例如:

（9）复共轭算符算符?的复共轭算符?*就是把?表达式中的所有量换成复共轭.例如:坐标表象中

（10）转置算符

利用波函数标准条件:当|x|→∞时ψ,?→0。由于ψ、φ是任意波函数,所以同理可证:

(11)厄密共轭算符算符?之厄密共轭算符?定义:+由此可得：:转置算符的定义可以证明:(??)=?(???...)=...?厄密共轭算符亦可写成：++?+++?+?+

(12)厄米算符足如右关系的算符称厄密算符.性II:两个厄密算符之一般不是厄密算符,除非二算符易。因性I:两个厄密算符之和仍是厄密算符。?+=?,?+=?=(?+?)(??)+=?+?+=??≠??成立,(?+?)=?+?+++[?,?]=0(??)=??才成立。+问题：厄米算符

定理I：体系任何状态ψ下，其厄密算符的平均值必为实数。逆定理：在任何状态下，平均值均为实数的算符必为厄密算符。

定理II：厄密算符的本征值必为实。当体系处于F的本