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《泛函分析》课程教学大纲

课程总学时/学分：36/2

课程类别：专业任选课

一、教学目的和任务

泛函分析是高等院校数学与应用数学专业、信息与计算科学专业、应用统计学

专业开设的一门专业任选课，它是数学分析、实变函数、微分方程等课程的一门后

继课程，是学好现代数学不可缺少的基础知识之一。学好这门课，对进一步学习现

代数学理论，加深对数学分析、实变函数、微分方程等课程的理解，提高学生的现

代数学思维，起着很重要的作用。

二、教学基本要求

本课程概念性强，内容抽象，推理严谨，尤其是其高度概括的证明方法和解题

技巧，学生在学习过程中，将会受到严格的数学思维训练。在教学过程中，在引入

概念时，力求联系学生已学过的例子，增加学生的感性认识。在一些定理的证明中，

力求不仅讲授清楚证明过程的逻辑线索，而且尽可能地对证明的基本思路加以分析，

使学生理解其实质。课程主要包括度量空间、巴拿赫空间和希尔伯特空间的基本内

容，以及线性算子、线性泛函的基本定理，重点让学生理解基本概念及性质。

三、教学内容及学时分配

第一章度量空间和线性赋范空间（12学时）

教学要求：

1．掌握度量空间、可分空间、完备度量空间、赋范线性空间、巴拿赫空间的概

念，弄懂距离、连续映射、柯西点列、范数的定义。

2．掌握距离的验证方法，掌握度量空间的完备性验证方法，掌握赋范线性空间

和巴拿赫空间的验证方法，理解有限维线性赋范空间的性质。

3．理解压缩映射原理，会用压缩映射原理证明有关问题。

教学重点：

1．度量空间、可分空间、完备度量空间、赋范线性空间、巴拿赫空间的定义。

2．距离的验证方法，度量空间的完备性验证方法，赋范线性空间和巴拿赫空间

的验证方法。

3．压缩映射原理的意义及应用。

教学难点：

度量空间的完备性验证方法，赋范线性空间和巴拿赫空间的验证方法，压缩映

射原理的应用。

第二章线性有界算子和线性连续泛函（8学时）

教学要求：

1．掌握线性有界算子和线性连续泛函的定义及其性质，会求有界算子和线性连

续泛函的范数。

2．掌握有界线性算子空间的性质；掌握共轭空间的定义，会确定共轭空间。

教学重点：

线性有界算子和线性连续泛函的定义及其性质，有界线性算子空间的性质，共

轭空间的定义。

教学难点：

有界算子和线性连续泛函的范数的求法，共轭空间的求法。

第三章内积空间和希尔伯特空间（10学时）

教学要求：

1．掌握内积空间和希尔伯特空间的定义及其性质，掌握内积的验证方法。

2．理解投影定理的内容，掌握投影定理的有关结论。

3．理解希尔伯特空间中规范直交系的定义及其性质，会利用相关定理证明问题。

4．掌握希尔伯特空间上的线性连续泛函的一般形式，理解共轭算子、自伴算子、

酉算子和正常算子的定义及其性质。

教学重点：

1．内积空间和希尔伯特空间的定义及其性质。

2．投影定理的有关结论希尔伯特空间中的规范直交系的定义及其性质。

3．希尔伯特空间上的线性连续泛函的一般形式。

4．共轭算子、自伴算子、酉算子和正常算子的定义及其性质。

教学难点：

内积的验证方法，投影定理的应用，希尔伯特空间中的规范直交系的性质，希

尔伯特空间上的线性连续泛函的一般形式。

第四章巴拿赫空间中的基本定理（6学时）

教学要求：

1．理解并掌握巴拿赫空间中的三大基本定理（泛函延拓定理、一致有界性定理、

逆算子定理）的内容及其意义，会利用基本定理证明简单问题。

2．理解强收敛、弱收敛和一致收敛的定义，弄清它们之间的关系。

教学重点：

巴拿赫空间中的三大基本定理（泛函延拓定理、一致有界性定理、逆算子定理）

的内容及其意义，强收敛、弱收敛和一致收敛的定义及它们之间的关系。

教学难点：

巴拿赫空间中的三大基本定理（泛函延拓定理、一致有界性定理、逆算子定理）

的应用。

四、推荐教材及参考书目

[1]程其襄.实变函数与泛函分析基础（第二版）.高等教育出版社，2003

[2]郑维行.实变函数与泛函分析概要（第二册）.高等教育出版社，1994

[3]孙永生.泛函分析讲义.北京师范大学出版社，1990