倍角、半角、和差化积公式.doc

倍角、半角、和差化积公式

一.教学内容:

3.1?和角公式

3.2?倍角公式和半角公式

?

二.教学目的

1.了解两角和与差的余弦、正弦、正切公式的推导和证明过程,能够利用两角和与差的余弦、正弦、正切公式进展简单的三角函数式的求值、化简和证明,了解两角和与差的余弦、正弦、正切公式的内在联系；

2.掌握倍角、半角的正弦、余弦、正切公式的推导过程，能够利用倍角、半角的正弦、余弦、正切公式进展求值、化简和证明，了解倍角、半角的正弦、余弦、正切公式的内在联系。

?

三.教学重点、难点

重点：能够推导并掌握两角和与差的余弦、正弦、正切公式及倍角、半角的正弦、余弦、正切公式,并应用上述公式进展求值、化简、证明。

难点：能够正确利用上述公式进展求值、化简、证明,并能解决简单实际问题。

?

四.知识分析

〔一〕两角和与差的余弦

1.两角差的余弦公式

推导方法1:向量法

把
看成是两个向量夹角的余弦,可以考虑利用两个向量的数量积来研究。如图1,设
的终边分别与单位圆交于点Pl(
,
),P2(
,
),由于余弦函数是周期为2π的偶函数,所以,我们只需考虑
的情况。

图1

设向量

那么。

另一方面,由向量数量积的坐标表示,有

????????

于是,对于任意的
,都有上述式子成立。

推导方法2:三角函数线法

设
、
都是锐角,如图2,角
的终边与单位圆的交点为Pl,∠POP1??????＝
,那么∠Pox＝
。过点P作MN⊥x轴于M,那么OM即为
的余弦线。在这里,我们想法用
的三角函数线来表示OM。

图2

过点P作PA⊥OP1于A,过点A作AB⊥x轴于B,过P作PC⊥AB于C,那么OA表示
,AP表示
,并且∠PAC＝∠P1Ox＝
,于是

即????

要说明此结果是否对任意角
都成立,还要做不少推广工作,并且这项推广工作的过程也是比拟繁难的,在此就不进展研究了。

2.两角和的余弦公式

比拟
与
,并且注意到
与
之间的联系：

那么由两角差的余弦公式得:

即?????

3.对公式的理解和记忆

〔1〕上述公式中的都是任意角。

〔2〕公式右端的两局部为同名三角函数之积,连接符号与左边的连接符号相反。

〔3〕要注意和〔差〕角的相对性,掌握角的变化技巧,如
,
等。

?

〔二〕两角和与差的正弦

1.公式的导出

即?????

?????

2.公式的理解

〔1〕
一样,对任意角
均成立,是恒等式。

〔2〕“和差〞公式是诱导公式的推广,诱导公式是“和差〞公式的特殊形式。

如

?????????????

???

??????????????

〔3〕明确
公式的区别与联系:

两公式右边均为两乘积项和差形式,但
公式中,左边为角的“和〞或“差〞,右边也为两项之“和〞或“差〞,而
公式中,左边为角的“和〞或“差〞,右边那么为两项之“差〞或“和〞,另外
公式中右边两项均为角
的异名函数之积,牢记公式,才能正确使用这些公式。

3.函数
的最值..、b为常数，
为任意角〕

将函数
化为一个三角函数形式可求最值,而此函数为两项之“和〞式,所以考虑应用两角和与差的正弦、余弦公式,可化为一个三角函数形式,化简过程如下：

???

????????

???

???

???也可如下化简:

???

????????

???

???即

注:此处内容与教材P143的例4是一种问题,但表示方法稍有不同,目的是要同学们灵活掌握,运用自如。

?

〔三〕两角和与差的正切

1.正切公式的推导过程

当
时,将公式
的两边分别相除,有

???

???当cosαcosβ≠0时,将上式的分子分母分别除以cosαcosβ,得:

???

???由于
,

???在
中以－β代β,可得

???

.2.公式的理解

???〔1〕公式成立的条件

???①公式
在
,α－β≠
时成立,否那么是不成立的。

???②当tanα、tanβ或tan(α±β)的值不存在时,不能使用公式
,处理有关问题时,应改用诱导公式或其他方法来解。

???〔2〕公式的变形形式

???①由得

???

???②由得

???；

???。

?

〔四〕倍角公式

.1.本节中公式的证明过程较为简单,只要将
中的β换作α即可得到
的形式,再结合平方关系
可推得
。

.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式及变形

???

???另外,
。

???公式
还可变形为升幂公式:

???
,

???降幂公式:

???以上公式中除
且α≠
外,其余公式中角α为任意角。

?

〔五〕半角的正弦、余弦和