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利用导数判断函数的单调性

一复习回顾：1.基本初等函数的导数公式/（1）.常函数：(C)?0,(c为常数)；/（2）.幂函数：(x)?nxnn?1（3）.三角函数：（4）.对数函数的导数:（5）.指数函数的导数:

2.导数的运算法则（1）函数的和或差的导数(u±v)/＝u/±v./（2）．函数的积的导数(uv)/＝u/v+vu./（3）．函数的商的导数/（）=(v≠0)。

复合函数的求导法则定理设函数y=f(u)，u=?(x)均可导，则复合函数y=f(?(x))也可导.且或或即：因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)

3.函数的单调性:对于任意的两个数x，x∈I，且当x＜x1212时，都有f(x)＜f(x)，那么函数f(x)就是区12间I上的增函数.对于任意的两个数x，x∈I，且当x＜x1212时，都有f(x)＞f(x)，那么函数f(x)就是区12间I上的减函数.

二、新课讲解:我们已经知道,曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数y=x2-4x+3的图像可以看到:在区(2,+∞)内,切线的斜率为正,函数y=f(x)是增函数,即0时,函数y=f(x)在区间(2,+∞)内为增函数.y在区(-∞,2)内,切线的斜率为负,函数y=f(x)是减函数,即110时,函数y=f(x)在区间(-∞,2)内为减函数.2o－1x2nm

用函数的导数判断函数单调性的法则：1．如果在区间(a，b)内，f’(x)0，则f(x)在此区间是增函数，(a，b)为f(x)的单调增区间；2．如果在区间(a，b)内，f’(x)0，则f(x)在此区间是减函数，(a，b)为f(x)的单调减区间；若在某个区间内恒有则为常数

例1．如图，设有圆C和定点O，当l从l开始在平面上绕O点匀速0旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图象大致是下列四种情况中的哪一种？D

解：由于是匀速旋转，阴影部分的面积S(t)开始和最后时段缓慢增加，中间时段S增速快，图A表示S的增速是常数，与实际不符，图A应否定；图B表示最后时段S的增速快，也与实际不符，图B也应否定；图C表示开始时段与最后时段S的增速快，也与实际不符，图C也应否定；图D表示开始与结束时段，S的增速慢，中间的时段增速快，符合实际，应选D。

例2．确定函数f(x)=x内是增函数，哪个区间内是减函数.解：f’(x)=(x－2x+4)’=2x－2.－2x+4在哪个区间22令2x－2＞0，解得x＞1.∴当x∈(1，+∞)时，f’(x)＞0，f(x)是增函数.令2x－2＜0，解得x＜1.∴当x∈(－∞，1)时，f’(x)＜0，f(x)是减函数.

例3:讨论f(x)=x3-6x2+9x-3的单调性.解:f(x)=3x令3x-12x+92或2-12x+90,解得x3或x1,因此,当时,f(x)是增函数.令3x2时,f(x)是-12x+90,解得1x3,因此,当减函数.

y故f(x)在(-∞,1)和(3,+∞)内是增函数,在(1,3)内是减函数.13而我们可以从右边的函数的图象看到上面的结论是正确的.x01?3（一）利用导数讨论函数单调性的步骤:(1):求导数(2)解不等式解不等式0得f(x)的单调递增区间;0得f(x)的单调递减区间.

例4．证明函数f(x)=在(0，+∞)上是减函数.证明：∵f’(x)=()’=(－1)·x－2=－，∵x0，∴x0，2∴－＜0.即f’(x)＜0，∴f(x)=在(0，+∞)上是减函数.

例5．求函数y=x解：y’=[x(1－x)3]’=2x(1－x)+x(1－x)的单调区间.232·3(1－x)·(－1)322=x(1－x)=x(1－x)[2(1－x)－3x]2·(2－5x)2令x(1－x)(2－5x)＞0，解得0＜x＜.2∴y=x(1－x)3的单调增区间是(0，)2

令x(1－x)(2－5x)＜0，2解得x＜0或x＞且x≠1.∵x=1为拐点，∴y=x(1－x)的单调减区间是23(－∞，0)，(，+∞)

练习题1．函数y=3x－x3的单调增区间是()C(A)(0，+∞)(B)(－∞，－1)(C)(－1，1)(D)(1，+∞)

2．设f(x)=x＋(x0)，则f(x)的单调增区间是(C)(A)(－∞，－2)(B)(－2，0)(C)(－∞，－)(D)(－，0)

3．函数y=xlnx在区间(0，1)上是(C)(A)单调增函数(B)单调减函数(C)在(0,)上是减函数，在(,1)上是增函数