《衍生金融工具》第十一章-股票价格的行为模式.pptxVIP

第十一章股票价格的行为模式11

本章导读

本章介绍几种常用的连续时间随机过程,并利用这些随机过程来描述公司股票价格在市场上的变化情形。学习本章要求了解并能区别各种随机过程(马尔可夫过程,维纳过程,伊藤过程)之间的差异,能够运用适当的随机过程来描述股票价格变动,并且能够使用伊藤引理来解释连续时间下的股票价格变动。连续时间随机过程在理解和推导期权及其他复杂衍生金融工具的定价中扮演着至关重要的角色。本章将介绍比较几种常用的随机过程,让读者了解随机过程公式中各个参数所代表的实际意义，并介绍一个重要的结论——伊藤引理，它是随机微积分的核心工具。为了让读者更易于了解,其推导将会放在本章附录中。2

知识结构图

股票价格的行为模式随机过程有效市场假说与马尔可夫过程维纳过程一般化的维纳过程伊藤过程股票价格的行为过程伊藤引理伊藤引理远期合约下的应用股票价格对数变化3

第一节随机过程

观察图11-1所示的上证指数从上世纪90年代交易以来的波动情况，它看上去像是在随机漫步。金融中，通常用随机过程来刻画这种无规律的运动。图11—1上证指数历史走势图假设Ω={ω}是随机试验的样本空间，T是一个参数集（通常是时间），如果对于每一个t∈T，都有随机变量X(ω,t)∈R与之对应，则称依赖于t的一族随机变量X(ω,t)为随机过程，也称为随机函数。4

第一节随机过程

通俗地讲，随机过程(stochasticprocess)可以看成两个自变量——状态和时间——的函数。和普通的确定性函数不同的是，第一个变量本身是随机的，对应一个样本随机试验的结果，比如抛硬币。随机过程习惯上有多种简单记法，如X(t),t∈[0,T]，或者(Xt)t∈[0,T]。这时对它有多种理解：(1)当ω,t都是变量时，X(ω,t)是一个时间函数族，表示一个随机过程；(2)当ω给定为ω*，t为变量时，X(ω*,t)是一个时间上的函数，称它为一个样本路径；(3)当t固定在某一时刻t*，x(ω,t*)是一个普通的随机变量(4)当都固定时，X(ω*,t*)是一个确定的函数值。需要指出的是，状态变量和时间变量可以是离散或者连续的情形。比如通常的时间序列过程就是离散的随机过程。另外，随机过程X(ω,t)在某一时刻所呈现的数值也可以是高维随机向量，比如描述股票、债券、期权等形成的组合的价格随机过程，则有X(ω,t)∈Rn.5

第一节随机过程

一、有效市场假说与马尔可夫过程有效市场假说基本的假设是投资者会利用可以获得的信息去交易,因此股票价格应该充分反映了现有的信息,也就是投资者无法利用现有的信息去判断股票价格未来的走势。而依照投资者可以获得的信息集合的大小,法玛(Fama,1970)提出了有效市场假说(efficientmarkethypothesis)的三种形态:弱式有效,半强式有效,以及强式有效，分别对应过去、现在及未来的信息是否能反映未来的股票价格走势。一般认为市场应该至少是弱式有效的，即历史信息无法预测未来股票价格的走势。这意味着，弱式有效市场的假设和数学上的马尔可夫过程是一致的。离散的马尔可夫过程可以定义如下:E(Pt+1|Pt,Pt-1,Pt-2,…)=E(Pt+1|Pt)(11.1)简单来说,在马尔可夫过程中，变量的未来预期值只受当前信息的影响,与历史信息无关，即变量的历史值以及如何达到目前的现值对于未来没有预测能力。18注18：马尔可夫同样有连续时间下的版本,其基本的意义与离散时间下的定义并无基本差异。同样是历史价值及走向对于股票价格未来的运动不具有预测性。6

第一节随机过程?7

第一节随机过程?8

第一节随机过程?9图11—3不同时间区间大小下的维纳过程

第一节随机过程

三、一般化的维纳过程若假设一只股票的价格变动遵循标准的维纳过程，我们很快会发现这样的假设存在很大的问题。首先,因为标准维纳过程的变动量的均值为0,所以今天的股票价格以及五年后的预期股票价格是一样的,也就是假如买进一只股票,五年之间的平均收益率将为0。投资学的基本原理认为:由于股票有风险,股票的平均收益率应该高于无风险利率。其次,如果股票价格均遵循标准维纳过程,则所有股票的波动率将会一样。显然，两家不同基本面的公司，使用不同的财务杠杆,波动率应该不同。再次，股票价格是非负的，直接用标准的维纳过程来拟合股票价格是不现实的。这些限制使得我们必须进一步将标准维纳过程一般化,以贴近股票价格的运行模式。标准维纳过程dz的漂移率(driftrate)为0，波动率(variancerate)为1。所谓漂移率是指随机过程每单位时间内的变化的期望值，漂移率为0指的是未来任一时点下z(t)的期望值等于当前的现值。波动率为1指的是变量z在单位时间的根方差为1