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人大附中2023~2024学年度第二学期高一年级数学期中练习
2024年4月23日
制卷人:宁少华王鼎审卷人:吴中才
说明:本试卷共六道大题,共7页,满分150分,考试时间120分钟
第Ⅰ卷(共18题,满分100分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.)
1.在平行四边形ABCD中,()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量加法的平行四边形法则求解即得.
【详解】在中,,所以.
故选:A
2.已知角终边上一点,若,则的值为()
A. B.2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用余弦函数的定义列式计算即得.
【详解】由角终边上一点,得,因此,解得,
所以的值为.
故选:D
3.下列函数中,既是偶函数又在区间单调递增的是()
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据奇偶性的定义判断排除AB,再由单调性排除C的可得.
【详解】由三角函数性质知选项AB中函数都是奇函数,C中函数是偶函数,但它在上是减函数,也排除,只有D可选,
实际上,记,
则,它是偶函数,
又设,则,因此,即,在上是增函数,满足题意.
故选:D.
4.已知为所在平面内一点,,则()
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意作出图形,利用向量线性运算即可得到答案.
【详解】由题意作出图形,如图,则
,
故选:A.
5.把函数的图象按向量平移后,得到新函数的解析式为()
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把函数的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,写出解析式即可.
【详解】把函数的图象按向量平移,
即把函数的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,
所以得到新函数的解析式为.
故选:C
6.在人大附中节活动的入场券中有如下图形,单位圆与轴相切于原点,该圆沿轴向右滚动,当小猫头鹰位于最上方时,其对应轴的位置正好是,若在整个运动过程中当圆滚动到与出发位置时的圆相外切时(此时记圆心为),此时小猫头鹰位于处,圆与轴相切于,则劣弧AB所对应的扇形面积是()
A.1 B.2 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件,求出劣弧的长,再利用扇形面积公式计算即得.
【详解】由圆与圆外切,得,
又圆、圆与轴分别相切于原点和,则,
依题意,圆沿轴向右无滑动地滚动,因此劣弧AB长等于长2,
所以劣弧AB所对应的扇形面积是.
故选:A
7.已知函数,则“”是“为偶函数”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用正余弦函数性质,充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】当时,,为偶函数;
反之,为偶函数,则或,
所以“”是“为偶函数”的充分不必要条件.
故选:A
8.已知为坐标原点,是终边上一点,其中,非零向量的方向与轴正方向相同,若,则取值范围是()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量模的坐标表示写出模的表达式,然后由函数性质得结论.
【详解】由已知或,或,
,,
,又,
所以时,取最小值,时,取最大值4,
故选:D.
9.函数图像可能()
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数图象的对称性排除AC,再结合函数值大小排除B,从而得正确结论.
【详解】从四个选项中可以看出,函数的周期性、奇偶性、函数值的正负无法排除任一个选项,
但是,因此的图象关于直线对称,可排除AC,
又,排除B,
故选:D.
10.已知函数,下列结论错误的是()
A.的图像有对称轴 B.当时,
C.有最小值 D.方程在上无解
【答案】D
【解析】
【分析】选项A,根据条件可得为偶函数,即可判断选项A的正误,选项B,利用偶函数的性质,先判断时,成立,分和两种情况,当时,利用三角函数的符号即可判断成立,当时,利用三角函数的定义及弧长公式,即可判断成立;选项C,利用的周期性及的奇偶性,当,得到存在最小值,则最小值只会在区间内取到,再利用导数与函数单调性间的关系,即可判断出选项C的正误;选项D,利用零点存在性原理,即可判断出选项D的正误,从而得出结果.
【详解】对于选项A,易知的定义域为,关于原点对称,
又,所以为偶函数,关于轴对称,所以选项A结论正确,
对于选项B,当时,,又,,
所以,即当时,成立,
当时,如图,在单位圆中,设是角的终边,过作轴的垂线交于,过作轴的垂线
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