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Section6.2
CalculatingCoefficients
OfGeneratingFunctionsAaronDesrochersBenEpsteinColleenRaimondi1Tucker,Section6.2
Thischapterisaboutdevelopingalgebraictechniquesforcalculatingthecoefficientsofgeneratingfunctions.Allmethodsseektoreduceagivengeneratingfunctiontoasimplebinomial–typegeneratingfunction,oraproductofbinomial-typegeneratingfunctions.CalculatingCoefficientsOfGeneratingFunctions2Tucker,Section6.2
1)2)3)4)5)Ifh(x)=f(x)g(x),wheref(x)andg(x),thenh(x)PolynomialExpansions:3Tucker,Section6.2
TheruleformultiplicationofgeneratingfunctionsinEqn.(6)issimplythestandardformulaforpolynomialmultiplication.Ifh(x)=f(x)g(x),wheref(x)andg(x),thenh(x)4Tucker,Section6.2
Identity(1)canbeverifiedbypolynomial“longdivision”.Werestateit,multiplyingbothsidesofEq.(1)byAsWeverifythattheproductoftheright-handsideisby“longmultiplication”11)5Tucker,Section6.2
Ifmismadeinfinitelylarge,sothatbecomestheinfiniteseriesthenthemultiplicationprocesswillyieldapowerseriesinwhichthecoefficientofeachiszero.Weconcludethat()=1[Numerically,thisequationisvalidfor;the“remainder”termGoestozeroasmbecomesinfinite.]Dividingbothsidesofthisequationby(1–X)yieldsidentity(2).2)1)6Tucker,Section6.2
Expansion(3),thebinomialexpansionwasexplainedatthestartofsection6.1.Expansion(4)isobtainedfrom(3)byexpanding3)7Tucker,Section6.2
Foridentity5,(1–x)-n==(1+x+x2+…)nSince=(1+x+x2+…)(eq.2)Letusdeterminethecoefficientinequation(7)bycountingthenumberofformalpr
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