第09讲 函数的概念及其表示 2024年新高一暑假数学预习课（人教A版2019必修第一册）（解析版）.docx

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第09讲函数的概念及其表示

1.理解函数的概念，了解构成函数的三要素；

2.能正确使用区间表示数集，会求简单函数的定义域、函数值和值域；

3.掌握函数的三种表示方法—解析法、图象法、列表法；

4.了解两个函数相等的意义，会判断给定两个函数是否为同一个函数；

5.会求函数的解析式，并正确画出函数的图象.

一函数的概念

1概念

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x),x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的

2定义域

①概念：函数自变量x的取值范围.

②求函数的定义域主要应考虑以下几点

(1)若f(x)为整式，则其定义域为实数集R．

(2)若f(x)是分式，则其定义域是使分母不等于0的实数的集合．

(3)若f(x)为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合．

(4)若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集．[

(5)实际问题中，定义域要受到实际意义的制约．

3值域

①概念：函数值y的取值范围

②求值域的方法

(1)配方法(2)数形结合(3)换元法

(4)函数单调性法(5)分离常数法(6)基本不等式法

4函数的表示方法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.

5分段函数

有些函数在其定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应关系不同，这样的函数通常称为分段函数．

【题型一】函数概念的理解

相关知识点讲解

函数的概念

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x),x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的

比如

(1)贵哥西藏骑旅中，以15km/h的速度从大理去相距180km的丽江，出发t小时后行驶的路程是skm，则s是t的函数，记为s=12t，定义域是{t|0≤t≤12}，值域为{s|0≤s≤180}．对集合{t|0≤t≤2}中的任意一个实数，在集合{s|0≤s≤180}中都有唯一的数s=12t和它对应．

(2)①“A,B是非空的数集”，一方面强调了A,B只能是数集，即A,B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集．

②函数中，集合A,B间元素的对应可以是一对一、一对多，不能多对一，集合B中的元素可以在集合A没元素对应.

③函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这“三性”只要有一个不满足，便不能构成函数．

【典题1】下列式子中y是x的函数的是()

A．x2+y2=2B．x-1+y-1

【答案】B

【详解】对于B，满足函数的定义，

对于C：y=x-2

对于A，D，当x=1时，y

故选：B．

【典题2】若函数y=fx的定义域为x|0≤x≤1，值域为y|0≤y≤1，那么函数y=fx的图象可能是(

A．??B．C．?? D．

【答案】C

【分析】

根据各选项一一判断其定义域与值域，即可得解.

【详解】对于A：函数的定义域为x|0≤x≤1，但是值域不是y|0≤y≤1，故A错误；

对于B：函数的定义域不是x|0≤x≤1，值域为y|0≤y≤1，故B错误；

对于C：函数的定义域为x|0≤x≤1，值域为y|0≤y≤1，故C正确；

对于D：不满足函数的定义，不是一个函数的图象，故D错误.

故选：C

变式练习

1.(多选)集合A，B与对应关系f如图所示，则f:A→B是从集合A到集合B的函数的是(????)

A．?? B．??

C．?? D．??

【答案】AC

【分析】利用函数的定义逐一判断即可.

【详解】选项A：集合A中任何一个元素在集合B中都有唯一一个与之对应的，是函数，

选项B：集合A中存在元素3在集合B中没有对应的，不是函数，

选项C：集合A中任何一个元素在集合B中都有唯一一个与之对应的，是函数，

选项D：集合A中存在元素5在集合B中有2个元素与之对应，不是函数.

故选：AC.

2.下列变量x与y的关系式中，不能构成y是x的函数关系的是()

A．x-y=1 B．x2-y=1 C．x-2y

【答案】C

【详解】A．由x－y=1

B．由x2－y

C．由x－2y2=1

D．由x-2y