专题10 平面向量（理科）（解析版）.docxVIP

十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—平面向量

目录

TOC\o1-3\h\z\u题型一：平面向量的概念及线性运算 1

题型二：平面向量的基本定理 3

题型三：平面向量的坐标运算 9

题型四：平面向量中的平行与垂直 13

题型五：平面向量的数量积与夹角问题 14

题型六：平面向量的模长问题 33

题型七：平面向量的综合应用 38

题型一：平面向量的概念及线性运算

一、选择题

1．(2021年高考浙江卷·第3题)已知非零向量，则“”是“”的 ()

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】B

解析:若，则，推不出；若，则必成立，故“”是“”的必要不充分条件,故选B．

2．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第3题)在中，D是AB边上的中点，则= ()

A． B． C． D．

【答案】C

解析：

3．(2022新高考全国I卷·第3题)在中，点D在边AB上，．记，则 ()

A． B． C． D．

【答案】B

解析：因点D在边AB上，，所以，即，

所以．故选：B．

4．(2019·上海·第13题)已知直线方程的一个方向向量可以是 ()

B．C．D．

【答案】D

【解析】依题意：为直线的一个法向量，∴方向向量为，选D.

【点评】本题主要考查直线的方向量．

5．(2019·全国Ⅰ·理·第4题)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比为(，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美

人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金

分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是 ()

A．165cm

B．175cm

C．185cm

D．190cm

【答案】

答案：B

解析：如图，，

，则，，，

所以身高，

又，所以，身高，

故，故选B．

二、填空题

1．(2020北京高考·第13题)已知正方形的边长为，点满足，则_________；_________．

【答案】(1)．(2)．

【解析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

则点、、、，，

则点，，，

因此，，．故答案为：；．

2．(2014高考数学北京理科·第10题)已知向量、满足||=1,=(2,1),且(),则=．

【答案】

解析：∵，∴，

3．(2015高考数学新课标2理科·第13题)设向量，不平行，向量与平行，则实数_________．

【答案】

解析：因为向量与平行，所以，则所以．

题型二：平面向量的基本定理

一、选择题

1．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第6题)在中,为边上的中线，为的中点，则 ()

A． B． C． D．

【答案】A

解析：在中，为边上的中线，为的中点，，故选A．

2．(2014高考数学福建理科·第8题)在下列向量组中，可以把向量表示出来的是 ()

A． B．

C． D．

【答案】B

解析：根据，

选项A：，则，，无解，故选项A不能；

选项B：，则，，解得，，，故选项B能．

选项C：，则，，无解，故选项C不能．

选项D：，则，，无解，故选项D不能．故选：B．

3．(2015高考数学新课标1理科·第7题)设D为QUOTEABC所在平面内一点，则 ()

A． B．

C． D．

【答案】A

解析：由题知=，故选A．

4．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题)在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为 ()

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如下图

则，，，，连结，过点作于点

在中，有

即

所以圆的方程为

可设

由可得

所以，所以

其中，

所以的最大值为，故选A．

法二：通过点作于点，由，，可求得

又由，可求得

由等和线定理可知，当点的切线(即)与平行时，取得最大值

又点到的距离与点到直线的距离相等，均为

而此时点到直线的距离为

所以，所以的最大值为，故选A．

另一种表达：如图，由“等和线”相关知识知，当点在如图所示位置时，最大，且此时若，则有，由三角形全等可得，知，所以选A．

法三：如图，建立平面直角坐标系

设

根据等面积公式可得圆的半径是，即圆的方程是

，若满足

即，，所以，设，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离，即，解得，所以的最大值是，即的最大值是，故选A．

法四：由题意，画出右图．

设与切于点，连接．以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立直角坐标系

则