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浅谈初中数学必备的思想方法

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在初中数学教学中，有针对性地对学生进行思想方法的训练，十分有利于学生学好初中数学。常见的数学思想方法有：转化思想、数形结合思想、分类思想等等。

一、转化思想

转化思想是初中数学教学中应用最广泛的思想方法。我们常常把复杂的问题转化为简单的问题，即化难为易。把抽象的问题转化为具体的问题，即由具体到抽象，等等。

先看化难为易。

例如，在解一元二次方程时，我们用因式分解的方法，将一元二次方程转化成一元一次方程求解。像X2-5X+6=0，将方程左边分解因式后得，(X-2)(X-3)=0，所以X-2=0，X-3=0，解这两个一元一次方程得x=2和X=3。

在解分式方程时，我们将分式方程的左右两边同乘以最简公分母，消去分母，转化成整式方程来解。

这些化难为易、温故而知新的转化思想，在初中数学教材中随处可见。

再看把抽象的问题转化为具体的。例如，现行人教版全国统编教材，七年级数学上册第107页，有这样一道题：现对某商品降价20%促销，为了使销售总金额不变，销售量要比按原价销售时增加百分之几?这道题中，商品的原价未知，原销售量也未知。没有具体的数量，学生做这道题时，很为难。怎么办?我们把抽象的问题转化为具体的问题来处理。假设商品的原销售价是每件10元，原销售量是20件，又设销售量要比按原价销售时增加的百分数为Ⅹ，根据题意可列方程如下：

10(1-20%)×20(1+X)=10×20

解得X=0.25

X=25%

有了这些假设的具体数量，学生容易理解。在此基础上，我们再由具体到抽象，引导学生做出标准解法如下：

把商品的原销售价看作单位1，把原销售量也看作单位1，设销售量要比按原价销售时增加的百分数为X，根据题意，列方程如下：

1×(1-20%)×1×(1+X)=1×1

解得Ⅹ=0.25

X=25%

经过上述转化，学生对此类抽象的题，有了透彻的理解，效果十分好。

二、数形结合的思想

伟大的数学家华罗庚曾经说过：数无形，少直观；形无数，难入微。在现实生活中，数与形密不可分。将数与形有机地结合好，有助于学生对数学知识的理解，对发展学生智力，发掘学生潜能，培养学生独立分析问题的能力有巨大作用。初中数学中，许多问题需要数形结合，形象直观地让学生感知，以利帮助学生掌握好所学的知识。

1、例如在学生进入初一学习有理数时，通过认识数轴、画数轴、读数轴上各点表示的数，学生就能充分的认识正负数，尤其是加深对负数的理解。

2、又例如，九年级学习二次函数时，我们在研究y=x2的性质时，必须先画函数图象(图略)。

然后对着图象分析：它的图象是一条曲线，形状类似于投篮时或掷铅球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线，y轴是它的对称轴，顶点坐标是(0，0)，这是它的最低点，当X0时，y随X的增大而减小，当X0时，y随X的增大而增大。如果不结合图象观察，学生是不可能学好二次函数的。

3、再如，设一元二次方程2X2+(7一2k)X+k一10=0的一个根大于2，另一个根小于2，求实数k的取值范围。

解：设这个一元二次方程的两个根分别为X1和X2，X12，并且X12，X22，当X=2时，相应的函数值小于0(因为抛物线开口向上)，把X=2代入方程中得

2

×22十(7一2k)×2十k一100

化简得：-k十120

解得k

(见图)。

三、分类讨论的思想

分类讨论有利于缩小范围分析问题，找到解决问题的关键。

1、例如，有这样一道例题。

某通讯公司有A、B两种上网计费方式。方式A：月租费15元/月，限流量500MB，超过后0.05元/MB。方式B：月租费20元/月，限流量800MB，超过后0.1元/MB。设一个月内移动电话的流量为XMB，X≥0，根据要求回答下列问题。

(1)、当500

(2)、当X800时，两种方式的计费相等，求X的值。

(3)、当X800时，选择哪种计费方式更省钱，请说明理由。

解：(1)根据题意，得方程。

15十0.05×(X-500)=20

解得X=600

(2)根据题意，得方程。

15十0.05×(X-500)=20十0.1×(X-800)

解得Ⅹ=1000

以上两小题，学生做时并不难，难在第(3)小题。初一学生还没学解不等式，应该如何完成第(3)题呢?我们来分类讨论。

a、由已知条件和第(1)、(2)题的答案可知，当800

b、当X=1000时，两种方式计费相等。

c、当X1000时，方式A每增加1MB仅增加0.05元，而方式B每增1MB就增加0.1元，因此选择方式A省钱。

2、又例如，学习解不等式组时，将不等式组的解集进行分类尤为重要。

a、如果求出的两个不等式的解集分别1是X-2和x1时，有公共部分