湘教版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第1章 1.5.1 数量积的定义及计算.ppt

1.5.1数量积的定义及计算第1章

课标要求1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.2.通过几何直观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.掌握平面向量数量积的运算律.4.会求向量的模、夹角,能运用数量积解决向量的垂直问题.

内容索引0102基础落实?必备知识全过关重难探究?能力素养全提升03学以致用?随堂检测全达标

基础落实?必备知识全过关

知识点1数量积的定义1.数量积定义:设a,b是任意两个向量,a,b是它们的夹角,则定义a·b=为a与b的数量积.?2.两个向量的垂直关系由平面向量夹角的定义可知,a,b=α的取值范围为[0,π].由数量积定义可知:a·b=0?或或.?(1)当a,b均不为0时,a·b=0???a⊥b.?(2)当a=0或b=0时,由于与任意向量垂直,因而仍有a⊥b.?因此,a·b=0?a⊥b对所有情形均成立.a·b=0为a⊥b的充要条件|a||b|cosa,b|a|=0|b|=0cosα=0cosα=0零向量

名师点睛两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算,与实数乘实数、向量数乘的乘法有着本质的区别,书写时一定要注意用a·b表示,不能用a×b或ab表示.

过关自诊1.两个向量的数量积结果是向量还是数量?2.已知|a|=2,|b|=,a与b的夹角是135°,则a·b=.?提示是数量.答案-2

3.△ABC是边长为4的等边三角形,则=.答案8

知识点2投影1.投影向量与投影长投影向量

2.投影与数量积的关系(1)投影:刻画了投影向量的大小和方向,称为方向上的投影.?(2)一般地,a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cosα的乘积,或b的长度|b|与a在b方向上的投影|a|cosα的乘积.名师点睛1.投影向量可类比物理上力做功问题中力在位移方向上的分力;2.由投影与数量积的关系可得b在a方向上的投影|b|cosα的公式:|b|cosα=.

过关自诊答案B

3.若a·b=-6,|a|=8,则向量b在向量a上的投影为.?2.若|a|=3,|b|=4,a与b的夹角是120°,则向量a在向量b上的投影为.?

知识点3平面向量数量积的运算律交换律?与数乘的结合律?分配律?名师点睛1.向量数量积的运算不适合约分,即a·b=a·cb=c.2.向量数量积运算也不适合结合律,即(a·b)·c不一定等于a·(b·c),这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量,而a·(b·c)表示一个与a共线的向量.a·b=b·aa·(λb)=λ(a·b)a·(b+c)=a·b+a·c

过关自诊答案A

重难探究?能力素养全提升

探究点一求平面向量的数量积角度1数量积的简单计算【例1】已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为120°,求:(1)a·b;(2)a2-b2;(3)(2a-b)·(a+3b).(2)a2-b2=|a|2-|b|2=4-9=-5.(3)(2a-b)·(a+3b)=2a2+5a·b-3b2=2|a|2+5|a||b|cos120°-3|b|2=8-15-27=-34.

规律方法求向量的数量积时,需明确两个关键点:相关向量的模和夹角.若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算,则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简.

角度2几何图形中向量数量积的计算答案-1解析∵AD∥BC,且∠DAB=30°,∴∠ABE=30°.∵EA=EB,∴∠EAB=30°,∴∠AEB=120°.在△AEB中,EA=EB=2,

规律方法平面向量的数量积在平面几何中的应用(1)解决几何图形中的向量的数量积运算问题,要充分利用图形特点及其含有的特殊向量,这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量.

变式训练1

探究点二求向量的投影【例3】如图,在△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=90°,D是边BC的中点,求:解如图,连接AD,因为AB=AC=4,∠BAC=90°,所以△ABC是等腰直角三角形.又因为D是BC边的中点,所以AD⊥BC,∠ABD=45°,

规律方法向量的投影的求解策略求向量的投影要搞清是求哪一个向量在哪一个向量上的投影,在正确理解其定义的同时,找准两向量之间的夹角是关键.确定两向量的夹角时,一定要注意“共起点”.

变式训练2答案A

探究点三利用数量