四川省内江市第一中学2023-2024学年高三上学期开学考试数学（理）试题.docx

内江一中高2024届高三上学期入学考试

理科数学试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求.

1．设，则的虚部为（????）

A． B． C．1 D．3

2．已知双曲线M：的焦点到其渐近线的距离为4，则双曲线M的渐近线的方程是（????）

A． B． C． D．y＝±2x

3．函数的单调增区间（????）

A．B．C． D．

4．下列求导数运算正确的是（????）

A． B．

C． D．

5．设a，b都是实数，则“”是“”的（????）

A．充分必要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

6．下列说法中，正确的命题的是（????）

A．一台晩会有6个节目，其中有2个小品，如果2个小品不连续演出，共有不同的演出顺序240种

B．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和0.3

C．若事件与事件互斥，则事件与事件独立

D．若样本数据，，…的方差为2，则数据，，…，的方差为16

7．的展开式中各项系数和为2，则该展开式的系数为（????）

A．30 B． C．10 D．

8．高铁是一种快捷的交通工具，为我们的出行提供了极大的方便．某高铁换乘站设有编号为①，②，③，④，⑤的五个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散名乘客所需的时间如下：

安全出口编号

①②

②③

③④

④⑤

①⑤

疏散乘客时间(s)

120

220

160

140

200

则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（????）

A．① B．② C．④ D．⑤

9．在直三棱柱中，是等腰直角三角形，，，，是线段上的动点，则当线段最短时，异面直线与所成角的余弦值为（????）

A． B． C． D．

10．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼-20飞机准备着舰。如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（????）

A．18种 B．24种 C．36种 D．48种

11．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，若点是与在第一象限内的交点，且,设与的离心率分别为，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

12．已知，，，则a，b，c的大小关系为（????）

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分

13．随机变量X服从正态分布，若，则.

14．如图，在空间四边形中，若，，，则.

15．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于P，Q两点，于H，若，O为坐标原点，则与的面积之比为．

16．若，不等式恒成立，则实数的取值范围是．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17．动点与定点的距离等于点P到直线的距离，设动点P的轨迹为曲线．

(1)求曲线的方程；

(2)经过定点直线与曲线交于两点，且点M是线段AB的中点，求直线的方程．

18．为迎接建党一百周年，在全市中小学校开展“恰是百年风华，爱我山河美景”竞赛考试活动，进一步激发学生的爱国热情.某中学于2021年3月份对全校学生进行了“建党一百周年”国防教育知识竞赛考试，并随机抽取了100名学生的成绩进行了统计，其中男女生各占一半，绘制了频率分布直方图(如图所示)，规定80分(满分100分)及以上者为成绩优秀，否则为成绩不优秀.

(1)求图中a的值；

(2)将频率视为概率，从本次考试的全校所有学生中，随机抽取4人去其他学校进行爱国励志演讲宣传，记抽取的4人中成绩优秀的人数为，求的分布列和数学期望.

19．如图，由半径为2的四分之一圆面绕其半径所在直线旋转一周，形成的几何体底面圆的圆心为，是几何体侧面上不在上的动点，是的直径，为上不同于，的动点，为的重心，

（1）证明：平面；

（2）当三棱锥体积最大时，求直线与面所成角的正弦值.

20．在平面直角坐标系xOy中，动点Р与定点F(2，0)的距离和它到定直线l：的距离之比是常数，记P的轨迹为曲线E.

(1)求曲线E的方程；

(2)设过点A(，0)两条互相垂直的直线分别与曲线E交于点M，N(异于点A)，求证：直线MN过定点.

21．已知函数，若函数在点处的切线方程为.

(1)求，的值；

(2)求的单调区间；

(3)当时，若存在常数，使得方程有两个不同的实数解，，求证：.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．在直角坐标系中，曲线M的方程为，曲线N的方程为，以