湘教版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第1章 平面向量及其应用 1.4.1 向量分解及坐标表示.ppt

第1章平面向量及其应用1.4.1向量分解及坐标表示

课标要求1.理解并掌握平面向量基本定理,会用基表示平面向量.2.掌握平面向量的正交分解以及坐标表示.

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基础落实?必备知识全过关

知识点1平面向量基本定理1.平面向量基本定理设e1,e2是平面上两个________向量,则?(1)平面上每个向量v都可以分解为e1,e2的实数倍之和,即v=xe1+ye2,其中x,y是实数.(2)实数x,y由v=xe1+ye2唯一决定.也就是:如果v=xe1+ye2=xe1+ye2,则x=x,y=y.不共线

名师点睛对平面向量基本定理的理解(1)平面向量基本定理包括两个方面的内容,一是存在性,二是唯一性.唯一性是指如果c=xa+yb=μa+vb,那么x=μ且y=v.(2)当a与b不共线时,xa+yb≠0的充要条件是x与y中至少有一个不为0.

2.基与坐标我们称不共线向量e1,e2组成平面上的一组基{e1,e2},分解式v=xe1+ye2中的系数x,y组成的有序数组(x,y),称为v在这组基下的________.取定了平面上一组基{e1,e2}之后,可以将平面上每个向量v用它在这组基下的坐标表示,记作v=(x,y).?坐标

名师点睛对基与坐标的理解(1)由平面向量基本定理知,平面内的任一向量都可用一组基表示出来.因而可以“统一”各向量,便于研究向量问题.(2)基不唯一,同一平面可以有不同的基,且组成基的向量不能共线(零向量不可以作为基中的向量).同一非零向量在不同基下的分解式是不同的.

?D解析e1+e2与e1-e2不共线,可以作为平面向量的基,另外三组向量都共线,不能组成基.

2.[北师大版教材习题]已知基{a,b},实数x,y满足:3xa+(10-y)b=(4y+4)a+2xb,求x,y的值.

知识点2平面向量的正交分解与坐标表示1.正交分解:把一个向量分解为两个互相________的向量,叫作把向量正交分解.?标准正交基:平面上相互垂直的单位向量组成的基称为标准正交基,记作{i,j}.2.向量坐标公式:设单位向量e1,e2的夹角e1,e2=90°,非零向量v的模|v|=r且e1,v=α,则v=(rcosα,rsinα).垂直

名师点睛在平面直角坐标系中,向量和坐标是一一对应关系.由此可见,在全体有序实数对与坐标平面内的所有向量之间可以建立一一对应关系.因此在平面直角坐标系中,点或向量都可以看作有序实数对的直观形象.

过关自诊1.正交分解与平面向量基本定理有何联系?提示正交分解是平面向量基本定理的特殊形式(组成基的两个向量互相垂直).2.在平面直角坐标系中,若i,j是与x轴、y轴正方向相同的单位向量,且a=2i-6j,b=5j,c=-4i,则向量a,b,c的坐标分别是________,________,________.?(2,-6)(0,5)(-4,0)

重难探究?能力素养全提升

探究点一对平面向量基本定理的理解【例1】给出下列说法:①若向量e1,e2不共线,则平面内的零向量不能用e1,e2表示;②若向量e1,e2共线,则平面内任一向量a都不能用e1,e2表示为a=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)的形式;③若向量e1,e2是一组基,则e1+e2与e1-e2也可以作为一组基.其中正确说法的序号是________.?③解析①错误.零向量也可以用一组基来线性表示.②错误.当e1,e2共线时,平面内的有些向量可以表示为λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)的形式,有些向量则不可以.③正确.当e1,e2不共线时,e1+e2与e1-e2一定不共线,可以作为基.

规律方法平面向量基本定理的四个要点(1)不共线的向量e1,e2;(2)平面内的任意向量v;(3)存在唯一一对实数x,y;(4)v=xe1+ye2.

A.①② B.①③C.①④ D.③④B

探究点二平面向量基本定理的应用

规律方法用基表示向量的方法将两个不共线的向量作为基表示其他向量,基本方法有两种:一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至用基表示为止;另一种是通过列向量方程或方程组的形式,利用基表示向量的唯一性求解.

探究点三平面向量的坐标表示【例3】已知i,j分别是与x轴、y轴正方向相同的单位向量,a=3i-2j,b=-i+5j,求向量a+4b在基{i,j}下的坐标.解因为a=3i-2j,b=-i+5j,所以a+4b=(3i-2j)+4(-i+5j)=3i-2j-4i+20j=-i+18j,因此向量a+4b在基{i,j}下的坐标为(-1,18).

规律方法求平面向量坐标的方法(1)若i,j是分别与x轴、y轴同方