0923D01015-复变函数-2023版人才培养方案课程教学大纲.docxVIP

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附件5-1

ADDINCNKISM.UserStyle《复变函数》课程教学大纲

（理论课程·2023版）

一、课程基本信息

课程号

0923D01015

开课单位

数学与信息科学学院

课程名称

（中文）复变函数

（英文）FunctionsofaComplexVariables

课程性质

选修

考核类型

考试

课程学分

3

课程学时

51

课程类别

学科基础课程（学科拓展课）

先修课程

数学分析

适用专业（类）

数学与应用数学、信息与计算科学、数学金融

二、课程描述及目标

（一）课程简介

《复变函数》课程是本专业（类）的一门学科基础课程，是《数学分析》的后续课程，旨在通过理论教学与实践操作训练，使学生掌握单复变量的复变函数，主要是复解析函数的基础知识，主要内容包括Cauchy的积分理论、Weierstrass的级数理论和Riemann的几何理论，具体又以下五个部分组成：复数与复变函数；复变函数的积分；解析函数的幂级数表示法和Laurant级数表示法；留数理论及其应用；共形映射。通过本课程，使得学生具备分析和解决有关的理论和实际问题的基本能力。复变函数也称为复变函数论，又称复分析，是数学分析的推广和发展。因此它不仅在内容上与数学分析有许多类似之处，而且在逻辑结构方面也非常类似。它为进一步学习《常微分方程》、《概率论》、《数理统计》和《数学建模》等后续课程奠定必要的复变函数的理论基础。复变函数作为一种强有力的工具，已经被广泛应用于自然科学的众多领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及自动控制学等，目前也被广泛应用于信号处理、电子工程等领域。

（二）教学目标

通过本课程，学生将理解和掌握复分析理论的基础知识，在函数论方面的理论水平和综合应用能力得以提高，对该领域学习和研究兴趣进一步加强。学生将初步了解本学科的产生和发展，以及目前国内外研究的动态，为其今后在本学科或相关学科的应用打下扎实基础。

课程目标1：掌握复变函数的积分理论；

课程目标2：掌握复变函数的级数理论，以及留数理论；

课程目标3：掌握复变函数的几何理论。

三、课程目标对毕业要求的支撑关系

毕业要求指标点

课程目标

权重

1-1：数学与应用数学学科的基本理论、基本知识

课程目标1

课程目标2

课程目标3

0.25

2-1：数学与应用数学学科的基本理论、基本知识

课程目标1

课程目标2

课程目标3

0.25

2-2：具备从事科学研究、教学的能力

课程目标1

课程目标2

课程目标3

0.25

3-1：具备从事科学研究、教学的能力

课程目标1

课程目标2

课程目标3

0.25

四、教学方式与方法

主要采用课堂讲授、课后作业的方式完成教学任务。在课堂讲授中主要采用启发式教学，培养学生主动思考问题的习惯、自行解决问题的能力，使学生们对该课程的基本概念、基本理论理解起来更自然、更透彻；课后作业主要是为了巩固课堂讲授的基本知识点，加深对重点难点的理解，并通过与微积分理论的比较加深理解，掌握它自身所固有的理论和方法，培养学生的自主学习能力。

五、教学重点与难点

（一）教学重点

1．解析函数、柯西积分定理和积分公式；

2．级数、泰勒展开式和罗朗展开式、解析函数的唯一性定理；

3．留数定理及应用；

4．线性变换、共形映射。

（二）教学难点

多值函数、共形映射。

六、教学内容、基本要求与学时分配

序号

教学内容

基本要求

学时

教学

方式

对应课程目标

1

第1章复数与复变函数

1．理解复数的概念、运算及几何表示，理解复数与平面点及球面点的对应，理解复数及扩充复平面；

2．理解区域的概念及复数表示，掌握复变函数的定义和三个特殊的映射，理解复变函数的极限和连续性，了解有界闭集上连续函数的性质；

3．掌握复变函数的可导性与其实部和虚部的可导性的关系，理解并掌握解析函数的概念，理解并掌握Cauchy—Riemann方程；

4．?掌握指数函数、对数函数、幂函数、三角函数及反三角函数的定义，了解其性质，掌握多值函数的概念。

9

讲授

课程目标1

课程目标2

课程目标3

2

第2章复变函数的积分理论

1．掌握积分的定义、性质，将光滑曲线上的连续函数的积分化成定积分计算；

2．掌握柯西积分定理、柯西积分公式和高阶导数公式的内容、推广，及应用它们求积分；

3．掌握柯西不等式、Liouville定理、最大模原理。

10

讲授

课程目标1

课程目标2

课程目标3

3

第3章复变函数的级数理论

1．理解并掌握幂级数的收敛范围及性质；

2．掌握泰勒级数和罗朗级数展开定理，掌握将函数展开成泰勒级数、罗朗级数的常用方法；

3．掌握解析函数唯一性定理的内容、意义及证明思路；

4．掌握孤立奇点的分类及判别方法；

5．理解解析函数在无穷远点的性质；

6．了解整函数和亚纯函数。

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