湘教版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第4章 立体几何初步 本章总结提升.ppt

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专题突破·素养提升

专题一空间几何体的结构特征【例1】根据下列对几何体结构特征的描述,说出几何体的名称.(1)由六个面围成,其中一个面是凸五边形,其余各面是有公共顶点的三角形;(2)一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180°形成的旋转体;(3)一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的旋转体.

解(1)如图①,因为该几何体的五个面是有公共顶点的三角形,所以是棱锥,又其底面是凸五边形,所以是五棱锥.(2)如图②,等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个直角梯形,每个直角梯形旋转180°形成半个圆台,故该几何体为圆台.(3)如图③,过直角梯形ABCD的顶点A作AO⊥CD于点O,将直角梯形分为一个直角三角形AOD和一个矩形AOCB,绕CD旋转一周形成一个组合体,该组合体由一个圆锥和一个圆柱组成.

规律方法与空间几何体结构特征有关问题的解题技巧(1)紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定.(2)通过举反例对结构特征进行辨析,要说明一个说法是错误的,只要举出一个反例即可.

变式训练1下列说法正确的是()A.底面是矩形的平行六面体是长方体B.棱长都相等的直四棱柱是正方体C.侧棱垂直于底面两条边的平行六面体是直平行六面体D.底面为正多边形,且相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱D解析若侧棱不垂直于底面,则底面是矩形的平行六面体不是长方体,故A错误;若底面是菱形,则棱长都相等的直四棱柱不是正方体,故B错误;若侧棱垂直于底面两条平行边,则侧棱不一定垂直于底面,故侧棱垂直于底面两条边的平行六面体不一定是直平行六面体,故C错误.故选D.

专题二空间几何体的表面积和体积【例2】如图所示,在边长为4的正三角形ABC中,E,F依次是AB,AC的中点,AD⊥BC,EH⊥BC,FG⊥BC,D,H,G为垂足.若将△ABC中的四边形EFGH抠掉后,剩余部分绕AD所在直线旋转180°,求形成的几何体的表面积与体积.

规律方法1.空间几何体表面积的求法(1)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理.(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.2.空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体,则可直接利用公式进行求解.(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.

变式训练2(1)如图所示,圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等,则圆柱的表面积与球的表面积之比为()C解析设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R.圆柱的表面积S1=2πR2+2πR·2R=6πR2,球的表面积S2=4πR2,所以圆柱的表面积与球的表面积之比为故选C.

(2)如图所示的三棱锥O-ABC为长方体的一角,其中OA,OB,OC两两垂直,三个侧面OAB,OAC,OBC的面积分别为1.5cm2,1cm2,3cm2,则三棱锥O-ABC的体积为cm3.?1

【例3】如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D不同于点C),且AD⊥DE,F为B1C1的中点.求证:(1)平面ADE⊥平面BCC1B1;(2)直线A1F∥平面ADE.专题三空间中的平行与垂直关系

证明(1)因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以CC1⊥平面ABC.又AD?平面ABC,所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE,CC1,DE?平面BCC1B1,CC1∩DE=E,所以AD⊥平面BCC1B1.又AD?平面ADE,所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1=A1C1,F为B1C1的中点,所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1,且A1F?平面A1B1C1,所以CC1⊥A1F.又因为CC1,B1C1?平面BCC1B1,CC1∩B1C1=C1,所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1,所以A1F∥AD.又AD?平面ADE,A1F?平面ADE,所以A1F∥平面ADE.

规律方法1.空间平行、垂直关系的相互转化:???

2.证明空间线面平行或垂直需注意三点:(1)由已知想性质,由求证想判定.(2)适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一.(3)用定理时要先明确条件,再由定理得出相应结论.

变式训练3[北师大版教材习题]如图,已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AD∥B