初等变换应用与矩阵的秩课件.pptVIP

第七讲：初等变换应用与矩阵的秩班级：时间：年月日；星期教学目的理解秩的性质，掌握、记住并会应用秩作业的等式与不等式，掌握方程组秩的解法定理。重点难点媒体秩的不等式及其应用秩的不等式的性质黑板与投影练习册第19-21页T6－10，其中交讲授内容主转置、变换均恒等，还有不等式，方程线P19－20组秩的判定定理，定理的证明、过程及其解法内容概括转置变换乘逆阵恒等加上部分整体、合并最小的不等式组成了秩的性质。从方程组的最简型开始，定义同解方程组的自由变量的值即得解的矩阵向量形式1线性代数第三章

第七讲：初等变换应用与矩阵的秩本次课讲第三章第二节的应用，并讲授第三章第三节第四节，下次上课讲第三章第四节和第四章第一节。下次上课前完成作业19页到21页，交作业19页到20页2线性代数第三章

第六讲：初等变换与初等矩阵一、初等变换应用1.任一可逆矩阵均是k个初等矩阵之积定理：方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵证:1)充分性：若存在有限个初等矩阵3线性代数第三章

第六讲：初等变换与初等矩阵2)必要性：设A可逆，因任何矩阵经初等变换均可变成初等矩阵，设其标准形矩阵为F,则F经有限次初等变换可以变成A,由定理1，即存在有限个初等矩阵4线性代数第三章

第七讲：初等变换应用与矩阵的秩2.逆矩阵表示初等变换的结论与应用5线性代数第三章

第七讲：初等变换应用与矩阵的秩同样讨论列的情况：可得到如下结论：初等列变换6线性代数第三章

第七讲：初等变换应用与矩阵的秩例1设求解7线性代数第三章

第七讲：初等变换应用与矩阵的秩所以（5）用初等变换求解方程组我们采用利用初等变换求逆矩阵同样的办法求解线性方程组AX=b,这里，假定A是方阵且可逆8线性代数第三章

第七讲：初等变换应用与矩阵的秩例2求矩阵X，使AX=b，AX＝b其中129线性代数第三章

第七讲：初等变换应用与矩阵的秩10线性代数第三章

第七讲：初等变换应用与矩阵的秩例3：（2004，1、2）设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B，B的第2列加到第3列得C，则满足AQ＝C的可逆矩阵Q为分析：按照题意，用初等矩阵描述，有11线性代数第三章

第七讲：初等变换应用与矩阵的秩12线性代数第三章

第七讲：初等变换应用与矩阵的秩13线性代数第三章

第七讲：初等变换应用与矩阵的秩14线性代数第三章

第七讲：初等变换应用与矩阵的秩一、矩阵的秩的概念（1.定义）定义1在m×n矩阵A中，任取k行与k列（k≤m，k≤n),位于这些行列交叉处的个元素，不改变它们在A中的所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式.如——A的一个二阶子式.定义2设在矩阵中有一个不等于的阶子式，且所有的AD那么D称为矩阵A的r+1阶子式（如果存在的话）全等于00，r最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R(A).规定：零矩阵的秩等于0，即R(O)=0.由矩阵的秩的定义知：定义中有2个关键词，一个是“一个”，另一个是“所有”15线性代数第三章

第七讲：初等变换应用与矩阵的秩2.用定义求矩阵的秩（1）定义法：用定义判断k阶子式例1:求矩阵A和B的秩，其中另外，因为B是3行4列矩阵，没有4阶子式，所以R(B)小于等于3。注意到B的1、2行成比例，任意3阶子式都会同时含有B的1、2行的部分，其行列式为0，，所以由定义，R(B)＝216线性代数第三章

第七讲：初等变换应用与矩阵的秩3.秩的性质:初等变换秩不变.定理1若A~B,则R(A)=R(B).17线性代数第三章

第七讲：初等变换应用与矩阵的秩结论：行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的行数18线性代数第三章

第七讲：初等变换应用与矩阵的秩初等行变换(1)矩阵A行阶梯形矩阵B;(2)R(A)=矩阵B非零行的行数.分析：首先互换1、2行，第2步，用第一行把第2行以后的第2列元素变成0，按照上三角形依次做下去19线性代数第三章

第七讲：初等变换应用与矩阵的秩所以：R（A)＝35.满秩定义对于n阶可逆矩阵A，因，知A的最高阶非零子式为，所以A的秩等于它的阶数，故可逆矩阵又称满秩矩阵而奇异矩阵又称降秩矩阵。20线性代数第三章

第七讲：初等变换应用与矩阵的秩二、矩阵的秩的基本运算:1.等式（不变）运算分析：由定义A的子式也是A的子式，反之亦然T2）若A~B,则R(A)=R(B);R(A)=R(kA).分析：由于初等变换不改变子式非零的特性，由定理，显然初等变换秩不变。3）若P,Q可逆,则:R(PAQ)=R(A).分析：因P、Q可逆，由初等矩阵定理，PAQ与A等价。推论：若B可逆，则R(BA)=R(A)（或R(AB)