第5单元 圆(讲义)-2024-2025学年六年级上册数学人教版.docx

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(思维导图+考点梳理+典例分析+高频考题+答案解析)

【圆的认识与圆周率】

1.圆的认识:圆是一种几何图形.当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时,它的另一个端点的轨迹叫做圆.

2.圆周率:圆周率符号一般以π来表示,是一个在数学及物理学普遍存在的数学常数.它定义为圆形之周长与直径之比.它也等于圆形之面积与半径平方之比.

【圆及其性质】

1、圆的概念:

(1)、圆心:将一张圆形纸片对折两次,折痕相交于圆中心的一点,这一点叫做圆心。圆心一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等。

(2)、半径:连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示。把圆规两脚分开,两脚之间的距离就是圆的半径。

(3)、直径:通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示。直径是一个圆内最长的线段。直径的长度是半径的2倍。

2、圆的性质:

(1)、在同圆或等圆内,有无数条半径,有无数条直径。同圆中所有的半径、直径都相等。

(2).在同圆或等圆内,直径的长度是半径的2倍,半径的长度是直径的一半。

(3)、圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小。如果已知的是直径,我们要把直径除以2换成半径,确定圆心,然后才开始画圆。要比较两个圆的大小,就是比较两个圆的直径或半径。

(4)、轴对称图形:如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。

【圆、圆环的面积】

1、圆的面积公式:S=π

2、圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积即可得,公式:S=πr22﹣πr12=π(

【圆、圆环的周长】

1、圆的周长=πd=2πr,

2、半圆的周长等于圆周长一半加上直径,即;半圆周长=πr+2r.

3、圆环的周长等于两个圆的周长,即:圆环的周长=πd1+πd2=2πr1+2πr2.

【扇形的面积】

扇形面积可以用扇形所在圆的面积除以360再乘以扇形圆心角的角度n,即:S=nπ

【扇形的认识】

1、一条圆弧和经过这条圆弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形

2、扇形弧长计算公式,l是弧长,n是扇形圆心角,π是圆周率,R是扇形半径。

弧长=圆心角度数/360°×2×圆周率×半径

【典例1】已知一个圆形苗圃和一块正方形菜地的周长相等,正方形菜地的边长是157m,圆形苗圃的半径是多少米?

【答案】100米;631.14平方米。

【思路分析】先根据正方形的周长=边长×4,求出圆的周长,再根据圆的周长=π×半径×2,求出半径即可。

【解答】解:157×4=628(米)

628÷3.14÷2

=200÷2

=100(米)

100+1=101(米)

3.14×101×101﹣3.14×100×100

=32031.14﹣31400

=631.14(平方米)

答:圆形苗圃的半径是100米;小路的面积是631.14平方米。

【名师点评】熟练掌握正方形和圆的周长公式,是解答此题的关键。

【典例2】如图所示,这一张长方形的纸片上刚好剪两个最大的圆,已知一个圆的周长是12.56cm.

(1)两个圆的面积共多少?

(2)长方形的面积与两个圆的面积的比是多少?

(3)剪下两个圆后,剩下的面积是多少?

【答案】见试题解答内容

【思路分析】(1)先根据圆的周长公式求出这个圆的半径是:12.56÷3.14÷2=2(厘米),再根据圆的面积=πr2求出一个圆的面积,再乘2即可解答;

(2)观察图形可知,长方形的长是2×4=8(厘米)、宽是2×2=4(厘米),据此求出长方形的面积是8×4=32(平方厘米),再求出长方形的面积与两个圆的面积的比即可解答;

(3)用上面求出长方形的面积减去两个圆的面积,即可求出剩下的面积.

【解答】解:(1)12.56÷3.14÷2=2(厘米)

3.14×22×2

=3.14×4×2

=25.12(平方厘米)

答:两个圆的面积共有25.12平方厘米.

(2)长方形的长是2×4=8(厘米)

宽是2×2=4(厘米)

长方形的面积是8×4=32(平方厘米)

则长方形的面积与圆的面积之比是:

32:25.12

=3200:2512

=(3200÷16):(2512÷16)

=200:157

答:长方形的面积与两个圆的面积的比是200:157.

(3)32﹣25.12=6.88(平方厘米)

答:剩下的面积是6.88平方厘米.

【名师点评】此题主要考查了圆的周长、面积公式以及长方形的面积公式的综合应用,解答此题关键是明确长方形的长与宽与圆的直径的关系.

【典例3】在一块草地的木柱上拴着一头牛,拴牛的绳长为5m(拴在木桩上的绳子忽略不计),牛最多可吃到草的面积是多少平方米?

【答案】见试题解答内容

【思路分析】牛能吃到草的面积,就是以5米为半径的圆的面积,由此利用圆的面积公式S=πr

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