洛必达法则应用于导数题的一种解法探究.docx

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洛必达法则应用于导数题的一种解法探究

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洛必达法则现在经常被应用于解决高中阶段的导数问题，具体内容在不做过于详述，今天只是把一种新解法放在这里与各位探究：

以高三的一道月考题为例：

已知，。

判断的单调性。

（2）若，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围。

解：（1）略

恒成立

即恒成立

∴

∴①

∵对恒成立

∴①式可化为②

由洛必达法则可知：

∴

当时，且，所以有：③

令

则

∵

∴，当且仅当时，后一个不等式成立

∴

即，在上单调递减

∴

∴

∴当时，恒成立。

一般这类型题目传统解法是先讨论新函数的单调性，然后再结合洛必达法则求解。但判断单调性往往计算量过大，学生在解题的时候会遇到困难。

结合这道题目的特点：①符合分离参数的条件，②参数分离以后，构成一个“”的形式，且分子分母在所给区间均可导，符合洛必达法则的使用条件。在判断出a值范围以后，判断是的必要条件，再利用放缩法证明在该范围下不等式成立，得出是成立的充分条件，从而证明该不等式成立，当然这类型题目在解决的时候常常需要结合泰勒展开式：和的应用，这一方面高三学生在学习导数问题的时候也比较熟练。

再看一道高考原题：

已知。

当时，求的单调区间；

（2）当时，，求实数的取值范围。

解：（1）略。

（2）当时，恒成立。

当时，即，也就是

（典型的“”）

∵

∴

当时，分两类处理：

①当时，

成立

②当时，

令

则

∵对恒成立

∴在单调递增

∴

∴

综上所述，实数的取值范围是。

当然，因为学识所限，见解粗浅，还有许多需要完善的地方，尤其是对参数范围充分性的判断不够严谨，需要各位指正！

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-全文完-