2012年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷).pdf

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2012年全国高中数学联赛

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在题中的横线上．

2

Pyxx0P

1.设是函数（）的图像上任意一点，过点分别向

x



直线yx和y轴作垂线，垂足分别为A,B，则PAPB的值是_____________.

6.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x．若对任意的x[a,a2]，

不等式f(xa)2f(x)恒成立，则实数a的取值范围是_____________.

11

sinn

7．满足的所有正整数的和是_____________.

4n3

8．某情报站有A,B,C,D四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从

上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第1周使用Ａ种密码，那么第7周也使

用A种密码的概率是_____________.（用最简分数表示）

二、解答题：本大题共３小题，共５６分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．

131

9．（本小题满分16分）已知函数f(x)asinxcos2xa,aR,a0

2a2

xRf(x)0a

（1）若对任意，都有，求的取值范围；

a2xRf(x)0a

（2）若，且存在，使得，求的取值范围．



an

10．（本小题满分２０分）已知数列的各项均为非零实数，且对于任意的正整数，

n

都有

2333

(aaa)aaa

12n12n

n3a,a,a

（1）当时，求所有满足条件的三项组成的数列;

123

（2）是否存在满足条件的无穷数列{a}，使得a2012?若存在，

n2013

求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．

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11．（本小题满分20分）

XOYABCD4OBOD6

如图5，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，且