关于优美指数的确定-初等方法.docx

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关于优美指数的确定

初等方法

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论文导读:：设是正整数的除数函数。则称是一个优美指数.对此。曾提出如下猜想：。

论文关键词：除数函数，初等方法，优美指数，猜想

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1.引言及主要结论

设是正整数的除数函数，对于给定的正整数，若存在正整数可使

则称是一个优美指数.对此，曾提出如下猜想：

猜想任何正整数都是优美指数.

文[2]找到了一个反例，从而否定了上述猜想.本文证明了

定理1任何素数都是优美指数.

定理2若（为非负整数）或（为非负整数）或（为非负整数，为奇素数）或（为大于的正

整数，为适合的奇素数）或（为正整数，、为不同的奇素数）或（为大于的素数）或（为非负整数，为大于的素数）或（为非负整数，为奇素数），则都是优美指数.

2.关键性引理

引理对于正整数，设是的除数函数，则当是的标准分解式时，.

证明可参见文献[3].

3.定理的证明

先证定理.根据引理

令，则；

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令，则；

令（≥为奇素数），则.

综上，定理得证.

再证定理.根据引理

令（为非负整数），则

；

令（为非负整数），则

；

令（为非负整数，为奇素数），则

；

令（为大于的正整数，为适合的奇素数），则

；

令（为正整数，、为不同的奇素数），则

；

令（为大于的素数），则

；

令（为非负整数，为大于的素数），则

；

令（为非负整数，为奇素数），则

.

综上，定理得证.

由定理很容易算出在1—100的范围内，当1，2，3，4，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，18，19，20，21，23，24，26，27，29，30，31，32，35，36，37，38，39，40，41，42初等方法，43，45，47，48，49，50，51，52，54，55，57，59，62，64，65，66，67，69，71，72，74，77，79，81，82，83，84，85，87，88，89，90，91，92，95，96，98，99时，都是优美指数.于是我们猜测：若6，10，14，22，25，28，33，34，44，46，53，56，58，60，61，63，68，70，73，75，76，78，80，86，93，94，97，100，则都不是优美指数，从而进一步猜测：存在无穷多个正整数不是优美指数.

参考文献

[1]MurthyA..Somemoreconjecturesonprimesanddivisors[J].Smarandache

NotionsJ,2001(12):311-312.

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-全文完-