北师大版初中数学九年级下册教案第2章.doc

2.1二次函数

1．理解、掌握二次函数的概念和一般形式；(重点)

2．会利用二次函数的概念解决问题；(重点)

3．列二次函数表达式解决实际问题．(难点)

一、情境导入

已知长方形窗户的周长为6m，窗户面积为ym2，窗户宽为xm，你能写出y与x之间的函数关系式吗？它是什么函数呢？

二、合作探究

探究点一：二次函数的概念

【类型一】二次函数的识别

下列函数中是二次函数的有()

①y＝x＋eq\f(1,x)；②y＝3(x－1)2＋2；③y＝(x＋3)2－2x2；④y＝eq\f(1,x2)＋x.

A．4个B．3个C．2个D．1个

解析：①y＝x＋eq\f(1,x)，④y＝eq\f(1,x2)＋x的右边不是整式，故①④不是二次函数；②y＝3(x－1)2＋2，符合二次函数的定义；③y＝(x＋3)2－2x2＝－x2＋6x＋9，符合二次函数的定义．故选C.

方法总结：判定一个函数是否是二次函数常有三个标准：①所表示的函数关系式为整式；②所表示的函数关系式有唯一的自变量；③所含自变量的关系式最高次数为2，且函数关系式中二次项系数不等于0.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题

【类型二】利用二次函数的概念求字母的值

当k为何值时，函数y＝(k－1)xk2＋k＋1为二次函数？

解析：根据二次函数的概念，可得k2＋k＝2且同时满足k－1≠0即可解答．

解：∵函数y＝(k－1)xk2＋k＋1为二次函数，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k2＋k＝2，,k－1≠0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝1或－2，,k≠1，))∴k＝－2.

方法总结：解答本题要考虑两方面：一是x的指数等于2；二是二次项系数不等于0.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题

【类型三】二次函数相关量的计算

已知二次函数y＝－x2＋bx＋3，当x＝2时，y＝3.则x＝1时，y＝________．

解析：∵二次函数y＝－x2＋bx＋3，当x＝2时，y＝3，∴3＝－22＋2b＋3，解得b＝2.∴这个二次函数的表达式是y＝－x2＋2x＋3.将x＝1代入得y＝4.故答案为4.

方法总结：解题的关键是先确定解析式，再代入求值．

【类型四】二次函数与一次函数的关系

已知函数y＝(m2－m)x2＋(m－1)x＋m＋1.

(1)若这个函数是一次函数，求m的值；

(2)若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？

解析：根据二次函数与一次函数的定义解答．

解：(1)根据一次函数的定义，得m2－m＝0，解得m＝0或m＝1.又∵m－1≠0，即m≠1，∴当m＝0时，这个函数是一次函数；

(2)根据二次函数的定义，得m2－m≠0，解得m≠0或m≠1，∴当m≠0或m≠1时，这个函数是二次函数．

方法总结：熟记二次函数与一次函数的定义，另外要注意二次函数的二次项的系数不等于零．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题

探究点二：从实际问题中抽象出二次函数解析式

【类型一】从几何图形中抽象出二次函数解析式

如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，则菜园的面积y(单位：米2)与x(单位：米)的函数关系式为多少？

解析：根据已知由AB边长为x米可以推出BC＝eq\f(1,2)(30－x)，然后根据矩形的面积公式即可求出函数关系式．

解：∵AB边长为x米，而菜园ABCD是矩形菜园，∴BC＝eq\f(1,2)(30－x)，∴菜园的面积＝AB×BC＝eq\f(1,2)(30－x)·x，则菜园的面积y与x的函数关系式为y＝－eq\f(1,2)x2＋15x.

方法总结：函数与几何知识的综合问题，关键是掌握数与形的转化．有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第10题

【类型二】从生活实际中抽象出二次函数解析式

某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．

(1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且1≤x≤10)，求出y关于x的函数关系式；

(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．

解析：(1)每件的利润为6＋2(x－1)，生产件数为95－5(x－1)，则y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]；(2)由题意可令y＝1120，求出x的实际值即可．

解：(1)∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，