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一、选择题
1.如下图所示,在正方体中,是平面的中心,、、分别是、、的中点,则下列说法正确的是()
A.,且与平行
B.,且与平行
C.,且与异面
D.,且与异面
2.设、、是三条不同的直线,、、是三个不同的平面,则下列命题是真命题的是()
A.若,,则
B.若,,则
C.若,,,,则
D.若,,,则
3.如图,在长方体中,,,M为棱上的一点.当取得最小值时,的长为()
A. B. C. D.
4.正方体的棱长为2,是的中点,则点到平面的距离为()
A. B. C. D.
5.在三棱柱中,,,且,则直线与平面所成的角的大小为()
A.30° B.45° C.60° D.90°
6.在正方体,中,M,N,P,Q分别为,,,的中点,则异面直线MN与PQ所成角的大小是()
A. B. C. D.
7.某几何体的三视图如图所示(单位:),则该几何体的体积(单位:)是()
A.24 B.30 C. D.
8.已知E,F是四面体的棱,的中点,过的平面与棱,分别相交于G,H,则()
A.平分, B.平分,
C.平分, D.平分,
9.《九章算术》是古代中国乃至东方的第一步自成体系的数学专著,书中记载了一种名为“刍甍”的五面体(如图),其中四边形为矩形,,若,和都是正三角形,且,则异面直线与所成角的大小为()
A. B. C. D.
10.在正方体中,M是棱的中点.则下列说法正确的是()
A.异面直线与所成角的余弦值为
B.为等腰直角三角形
C.直线与平面所成角的正弦值等于
D.直线与平面相交
11.正三棱柱各棱长均为1,为的中点,则点到面的距离为()
A. B. C. D.
12.如图(1),,,为的中点,沿将折起到,使得在平面上的射影落在上,如图(2),则以下结论正确的是()
A. B. C. D.
二、填空题
13.如图,在四棱锥中,平面平面,为等边三角形,四边形为矩形,,则四棱锥的外接球的表面积为________.
14.已知是球的直径上一点,,平面,为垂足,截球所得截面的面积为,则球的表面积为__________.
15.已知某空心圆锥的母线长为,高为,记该圆锥内半径最大的球为球,则球与圆锥侧面的交线的长为________.
16.如图在菱形中,,,为中点,将沿折起使二面角的大小为,则空间、两点的距离为________;
17.正四面体棱长为2,平面,垂足为O,设M为线段上一点,且则二面角的余弦值为________.
18.已知扇形的面积为,圆心角为,则由该扇形围成的圆锥的外接球的表面积为_________.
19.已知四面体P﹣ABC的外接球的球心O在AB上,且PO⊥平面ABC,2ACAB,若四面体P﹣ABC的体积为,则该球的体积为_____.
20.如图,已知正四面体,为线段上的动点(端点除外),则二面角的平面角的余弦值的取值范围是___________.
三、解答题
21.设某几何体的三视图如图(尺寸的长度单位为),
(1)用斜二测画法画出该几何体的直观图(不写画法);
(2)求该几何体最长的棱长.
22.如图,在直三棱柱中,.
(1)求三棱柱的体积;
(2)求异面直线与所成角的大小;
(3)求二面角的平面角的余弦值.
23.如图,平行四边形中,,平面,,,.
(1)求证:平面平面;
(2)若点分别是的中点,求三棱锥的体积.
24.如图,在平面四边形中,,M在直线上,,,绕旋转.
(1)若所在平面与所在平面垂直,求证:平面.
(2)若二面角大小为,求直线与平面所成角的正弦值.
25.如图,在矩形中,,M为的中点,将沿折起使平面平面.
(1)求证:;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
26.如图,四棱锥中,底面是正方形,平面,,为与的交点,为棱上一点.
(1)证明:平面平面;
(2)若平面,求三棱锥的体积.
【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除
一、选择题
1.D
解析:D
【分析】
设正方体的棱长为2,利用正方体性质可求得,,知,再利用三角形中位线性质知,从而,又与相交,可知与异面,即可选出答案.
【详解】
设正方体的棱长为2,则
作点在平面的投影点,即平面,连接,在直角中,,,则,所以,故排除A、C
连接,由是平面的中心,得
又分别是、的中点,所以
又,所以,
又,所以与异面
故选:D.
【点睛】
关键点睛:本题考查正方体中的线面关系,线线平行的关系,及判断异面直线,解题的关键是熟记正方体的性质,考查学生的逻辑推理能力,属于基础题.
2.C
解析:C
【分析】
利用已知条件判断与的位置关系,可判断AD选项的正误;利用线面垂直的性质定理可判断B选项的正误;利用线面平行的性质定理可判断C选项的正误.
【详解】
对于A选项,若
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