湘教版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第1章 1.3 向量的数乘.ppt

;;内容索引;基础落实?必备知识全过关;知识点1向量的数乘

1.向量的数乘的定义

一般地,实数λ与向量a的乘积是一个向量,记作λa,称为a的λ倍,它的长度|λa|=|λ||a|.

(1)当λ≠0且a≠0时,λa的方向如下:

①当λ0时,与a同向;

②当λ0时,与a反向.

(2)当λ=0或a=0时,λa=0a=或λa==0.?

求向量的实数倍的运算称为向量的数乘.;2.向量的数乘的几何意义

向量数乘的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小.

3.向量的线性运算:

我们把向量的运算统称为向量的线性运算.?

名师点睛

对向量的数乘的理解

(1)实数与向量可以求乘积,但不能进行加减运算.如λ+a,λ-a均没有意义.

(2)若λa=0,则λ=0或a=0.;过关自诊

1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)

(1)对于任意的向量a,总有0·a=0.()

(2)当λ0时,|λa|=λa.()

(3)若a≠0,λ≠0,则a与-λa的方向相反.();2.已知向量a与向量b(如图),求作向量-2.5a和向量2a-3b.;知识点2共线向量

1.定义:当非零向量a,b方向相同或时,我们既称a,b共线,也称a,b平行,并且用符号“∥”来表示它们共线(或平行),记作a∥b.?

我们规定:零向量与所有的向量平行.

2.两个向量平行?其中一个向量是另一个向量的实数倍.即a∥b?存在实数λ,使得b=λa或a=λb.;名师点睛

1.向量夹角的说明

(1)夹角的取值范围规定为[0,π].

(2)a,b=b,a.

(3)当θ=0时,a,b方向相同;当θ=π时,a,b方向相反;特别地,当θ=时,a与b垂直,记作a⊥b.

(4)可以规定零向量0与a的夹角为0,零向量与任一向量平行,也可以规定0与a的夹角为,零向量与任一向量垂直.;2.对向量平行的理解

(1)向量平行(共线)时,向量所在的直线平行或重合.

(2)向量共线中的“共线”的含义不是平面几何中的“共线”的含义,共线向量有四种情况:方向相同模相等、方向相同模不等、方向相反模相等、方向相反模不等.

(3)任一向量a都与它本身是平行向量.;过关自诊

判断正误.(正确的画√,错误的画×)

(1)若向量a和b共线,则必有b=λa.()

(2)若向量共线,则A,B,C,D四点共线.()

(3)a∥b,c∥b,则a∥c.();知识点3共线向量的运算

1.单位向量

我们把长度为1的向量称为单位向量.它的长度等于单位长度.

对于任一非零向量a,都可得到与它方向相同的唯一单位向量e=a.

2.共线向量的运算

一般地,在一条直线上任取单位向量e,则直线上任何向量a都可写成a=ae,其中实数a的绝对值|a|代表向量a的模,a的正负代表a与e的方向相同或相反.反过来,任意给定一个实数a,我们总能作一个向量a=ae,使它的长度等于这个实数a的绝对值,方向与实数a的符号一致.

于是,实数与共线向量之间可以建立起一一对应关系.;过关自诊

若单位向量e1,e2不共线,则下列各组中,向量a,b共线的有.(填序号)?

①a=2e1,b=-2e1;

②a=e1-e2,b=-2e1+2e2;;知识点4数乘运算律

1.=xa+ya.?

2.x(ya)=.?

3.x(a+b)=.?

名师点睛

向量的运算律的理解

要清楚向量数乘与实数乘法的区别,前者的结果是一个向量,后者的结果是一个实数.;过关自诊

已知λ,μ∈R,下列关系正确的是()

A.若λ=0,则λa=0

B.若a=0,则λa=0

C.|λa|=|λ|a

D.λ(μ+a)=λμ+λa;重难探究?能力素养全提升;;规律方法向量的线性运算类似于代数多项式的运算,共线向量可以合并,即“合并同类项”“提取公因式”,这里的“同类项”“公因式”指的是向量.;变式训练1;;解(1)∵b=-2a,∴a与b共线.

(2)∵a=b,∴a与b共线.

(3)设a=λb,则e1+e2=λ(3e1-3e2),

∴(1-3λ)e1+(1+3λ)e2=0.

∵e1与e2是两非零不共线向量,

∴1-3λ=0,1+3λ=0.

这样的λ不存在,因此a与b不共线.;角度2用已知向量表示未知向量;规律方法用已知向量来表示另外一些所求未知向量是解向量相关问题的基础,除了要利用向量的加法、减法、数乘运算外,还应充分利用平面几何的一些定理、性质,如三角形的中位线定理,相似三角形对应边成比例等,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量再进行求解.;变式训练2;角度3三点共线问题;规律方法证明或判断三点共线的方法

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