人教A版数学课本优质习题总结训练-选择性必修一参考答案-2025届高三数学一轮复习.docx

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参考答案：

1．证明见解析

【分析】由向量共线定理可证明.

【详解】如果向量，共线，则存在唯一实数，使得，

则，

所以向量与共线.

2．(1) (2) (3) (4) (5) (6)

【分析】（1）根据题意，由空间向量的数量积的定义，代入计算，即可得到结果；

（2）根据题意，由空间向量的数量积的定义，代入计算，即可得到结果；

（3）根据题意，由空间向量的数量积的定义，代入计算，即可得到结果；

（4）根据题意，由空间向量的数量积的定义，代入计算，即可得到结果；

（5）根据题意，由空间向量的数量积的定义，代入计算，即可得到结果；

（6）根据题意，由，再结合空间向量的数量积的定义，代入计算，即可得到结果；

【详解】（1）??

由题意可知，每两条棱的夹角为，又点E，F，G分别是棱的中点，

则；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）

.

3．证明见解析；

【分析】取的中点D，联结OD，CD，证得平面，，从而有；又E，F，G，H分别是OA，OB，BC，CA的中点．从而有，结合，证得四边形EFGH是矩形．

【详解】取的中点D，联结OD，CD，

由，知，，，又，

故平面，又平面，因此

又E，F，G，H分别是OA，OB，BC，CA的中点．

则EF∥AD，GH∥AD，故EF∥GH，四边形EFGH是平行四边形

同理EH∥GF，且EH∥OC，又AB⊥OC，所以，四边形EFGH是矩形

4．证明见解析.

【分析】利用向量的运算，计算出，从而证明

【详解】

因为，

所以,

因为，，所以，

所以，即.

5．证明见解析

【分析】利用空间向量的数量积计算得出，可得出，同理可得出，结合线面垂直的判定定理可证得结论成立.

【详解】设，，，由于四边形为菱形，则，即，所以，，同理可得，由题意可得，，所以，，所以，，同理可证，因为，因此，平面.

6．（1）；（2）；（3）；（4）.

【分析】（1）建立坐标系，求出向量在单位向量上的投影，结合勾股定理可得点到直线的距离；

（2）先证明再转化为点到直线的距离求解；

（3）求解平面的法向量，利用点到平面的距离公式进行求解；

（4）把直线到平面的距离转化为到平面的距离，利用法向量进行求解.

【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，

则

（1）因为，所以.

所以点到直线的距离为.

（2）因为所以，即

所以点到直线的距离即为直线到直线的距离

，

所以直线FC1到直线的距离为

（3）设平面的一个法向量为，.

由，令，则，即.

设点到平面的距离为，则，即点到平面的距离为.

（4）因为所以平面，所以直线到平面的距离等于到平面的距离.。，由（3）得平面的一个法向量为，

所以到平面的距离为，所以直线到平面的距离为.

7．B

【分析】作图，找到直线在平面上的投影在构建多个直角三角形，找出边与角之间的关系，继而得到线面角；也可将三条射线截取出来放在正方体中进行分析.

【详解】解法一：如图，设直线在平面的射影为，

作于点G，于点H，连接，

易得，又平面，则平面，又平面，则，

有故．

已知，故为所求．

解法二：如图所示，把放在正方体中，的夹角均为．

建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，

则，所以，

设平面的法向量，则

令，则，所以，

所以．

设直线与平面所成角为，所以，

所以．

故选B．

8．（1）90°（2）（3）

【分析】（1）作AO⊥BC于点O，连DO，以点O为原点，OD，OC，OA的方向分别为x轴、y轴、z轴方向，建立坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成的角；

（2）显然平面BCD的一个法向量为，利用空间向量法求出线面角；

（3）求出平面CBD的一个法向量为以及平面ABD的一个法向量为，求出两法向量的余弦值的绝对值即为平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值．

【详解】解：设，作AO⊥BC于点O，连DO，以点O为原点，OD，OC，OA的方向分别为x轴、y轴、z轴方向，建立坐标系，得下列坐标：

，，，，

（1），

，所以AD与BC所成角等于90°．

（2），显然为平面BCD的一个法向量

∴，直线AD与平面BCD所成角的大小

（3）设平面ABD的法向量为则

所以，即，令，则，

则

设平面ABD和平面BDC的夹角为，则

因此平面ABD和平面BDC的夹角的余弦为．

9．

【分析】利用向量求解，，两边平方可求平面与平面的夹角．

【详解】设平面与平面的夹角为，

由可得

所以，即平面与平面的夹角为.

10．

【分析】连结，取的中点，连结，推导出异面直线，所成角就是，利用余弦定理解三角形，能求出结果．

【详解】连结，取的中点，连结，则，是异面直线，所成的角，，，，

又，，

，

异面直线，所成的角的余弦值为．

11．（1）证明见解析