2025年中考数学题型突破（全国）题型9 二次函数综合题 类型5 二次函数与三角形全等、相似（位似）有关的问题（专题训练）（教师版）.pdfVIP

类型五二次函数与三角形全等、相似（位似）有关的问题

（专题训练）

xOy2

1．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图1，平面直角坐标系中，抛物线yaxbxc

A(1,0)B(2,0)C(0,2)BCP(m,n)(m0)P

过点，和，连接，点为抛物线上一动点，过点作

PNxBCMxN

轴交直线于点，交轴于点．

BC

(1)直接写出抛物线和直线的解析式；

．．．．

OMOCMm

如图，连接，当为等腰三角形时，求的值；

(2)2

PyQOPQB

(3)当点在运动过程中，在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与以，

CNPCPQ

，为顶点的三角形相似（其中点与点相对应），若存在，直接写出点和点的坐

．．．．

标；若不存在，请说明理由．

2BCyx2m1m2

【答案】(1)抛物线：yxx2；直线：；(2)或m2或；

(3)，或，Q(0,1)或，Q(0,2)

P(2,2)Q(0,21)P(13,13)P(15,35)

ya(x1)(x2)C(0,2)a

【分析】（）由题得抛物线的解析式为，将点代入求，进而得抛物

1

BCykxtBCkt

线的解析式；设直线的解析式为，将点，的坐标代入求，，进而得直线

BC的解析式．

M(m,m2)OCOMCMOCM

（）由题得，分别求出，，，对等腰中相等的边进行分

2

类讨论，进而列方程求解；

PB

（）对点在点左侧或右侧进行分类讨论，设法表示出各线段的长度，利用相似三角形

3

mPQ

的相似比求解，进而可得，的坐标．

A(1,0)B(2,0)

【详解】（）解：抛物线过点，，

1

抛物线的表达式为ya(x1)(x2)，

1

将点C(0,2)代入上式，得22a，

a1．

y(x1)